Question

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. ∫▒(x/∛(x^2 )-2x/∜x) dx

Answer 1

Las primitivas de esta función son la siguiente familia de funciones $F(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-\frac{8}{7}x^{\frac{7}{4}}+C$

Explicación:

Empezamos pasando en limpio la expresión mostrada:

$F(x)=\int\limits^{}_{} {\frac{x}{\sqrt[3]x^2}-\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}} \, dx$

Las raíces se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario donde el numerador del exponente es el exponente mismo y el denominador es el radical.

$F(x)=\int\limits^{}_{} {\frac{x}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2x}{x^{\frac{1}{4}}} \, dx$

Luego a esta expresión se aplican las propiedades de la potenciación:

$F(x)=\int\limits^{}_{} {x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{3}{4}}} \, dx$

Esta expresión se puede integrar aplicando las reglas de la integración para funciones polinómicas, queda

$F(x)=\int\limits^{}_{} {x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{3}{4}}} \, dx=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}}-2\frac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1}}+C\\\\F(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-\frac{8}{7}x^{\frac{7}{4}}+C$

Esta es la expresión de la familia de funciones que esta integral tiene como solución. Si derivamos la función deberíamos llegar a la función de la que partimos:

$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}-1}-\frac{7}{4}.\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}-1}\\\\f(x)=x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{3}{4}}$

La cual desglosándola permite llegar a la expresión del enunciado.