Question

En un cuadrado ABCD de 2 cm de lado, M es el punto medio del lado AB y P es un punto variable del lado BC. ¿Cuál es el mínimo valor de DP + PM ?

Answer 1

Hola socramsi.

Se puede observar que DP y PM son dos hipotenusas de triángulos rectángulos que se han formado (DCP y PBM respectivamente).

Podemos formular entonces las ecuaciones relacionadas al teorema de Pitágoras (para simplificar las cosas, llamaremos al segmento |CP| = "x"):

$|DP|^2=|DC|^2+|CP|^2\\\\|DP|^2=(2cm)^2+x^2\\\\|DP|=\sqrt{4cm^2+x^2}$

$|PM|^2=|PB|^2+|MB|^2\\\\|PM|^2=(2cm-x)^2+(1cm)^2\\\\|PM|^2=4cm^2-x.4cm+x^2+1cm^2\\\\|PM|=\sqrt{5cm^2-4cm.x+x^2}$

El valor de ambas estará dado por (despreciando las unidades):

$V(x)=\sqrt{4+x^2}+\sqrt{5-4x+x^2}$

Para encontrar el valor mínimo, vamos a derivar la función.

$V'(x)=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2} }.(2x)+\frac{1}{2\sqrt{5-4x+x^2} }.(2x-4)$

Luego, debemos encontrar el valor para cuando V'(x)=0

$0=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2} }.(2x)+\frac{1}{\sqrt{5-4x+x^2} }.(2x-4)$

Desarrollando y factorizando (no lo muestro aquí para no alargar la respuesta):

x=1,33

Por lo tanto:

$V(1,33)=\sqrt{4+1,33^2}+\sqrt{5-4.1,33+1,33^2}\\\\V(1,33)=3,61$

Siendo entonces el valor mínimo igual a 3,61cm.

Saludos