1) La población del estado de La Florida en 1990 era de 13 millones de habitantes. En el año 2015 era de 20,3 millones de habitantes.
Calcule, usando la finción exponencial P(t)=Po ekt el ritmo de crecimiento anual en porciento (aproximar hasta la décima de porciento). De continuar a ese ritmo de crecimiento, diga en qué año se logrará alcanzar el doble de la cantidad que había en 1990.
2) Una cuenta de ahorros tiene $10,000. Se le aplica un interés compuesto por trimestre del 2.5% anual.
Calcular la cantidad de dinero que habrá acumulado en 15 años. Diga cuántos años habría que esperar para alcanzar el doble de dicha cantidad inicial.
Respuestas
Se calcula usando la función exponencial el valor de la misma y el total obtenido por el interés compuesto
Tenemos que la población: en 1990 era de 13 millones y en 2015 era de 20,3 millones,
Entonces si consideramos t = 0 el año 1990, tenemos que el año 2015 es t = 2015 - 1990 = 25
Po es la población inicial (población en t = 0) que es de 13 millones, entonces tenemos que P(25) = 20,3 millones sustituyendo
P(25) = 13 millones*exp(k*5) = 20,3 millones
exp(k*25) = 20.3 millones/13 millones = 20.3/13
Aplicamos logaritmo en base e:
k*25 = ln(20.3/13)
k = ln(20.3/13)/25 = 0.017826861 ≈ 0.018
Entonces la función exponencial en año x, para t = x - 1990 es:
P(t) = 13 millones*exp(0.018*t)
El doble de lo que teniamos en 1990 es: 26 millones
26 millones = 13 millones*exp(0.018*t)
2 = exp(0.018*t)
ln(2) = 0.018*t
t = ln(2)/0.018 = 38.8821 ≈ 39
Que es en el año: x = 1990 + 39 = 2029
El total obtenido de colocar una cantidad "a" a una tasa de interés compuesto "r" trimestral por "n" trimestres es:
total = a*(1 + r)ⁿ
En este caso:
total = $1000*(1 + 0.025)⁶⁰ = $4399,789749