Question

Un producto en un CEDIS de temperatura controlada (a 100°C) se envía a patio en el
instante t=0 y se deja ambientar. Sabiendo que pasados 10 minutos la temperatura del
producto llega hasta 70°C y que pasados otros 10 minutos la temperatura es de 55°C.
a) Determina a qué temperatura está el ambiente en el patio.
b) Determina la constante de proporcionalidad.​

Answer 1

La temperatura del ambiente es 40 º C y la constante de proporcionalidad es ln(2) / 10

Para poder resolver este ejercicio, debemos implementar la Ley de enfriamiento de Newton, que dice lo siguiente

$T(t) = T_m + (T_0 - T_m)e^{-kt}$

Donde Tm es la temperatura ambiente, T0 es la temperatura inicial del cuerpo y k es la constante de proporcionalidad, en nuestro caso tenemos que

T0 = 100, Tm = ? y k = ?

Por lo que

$T(t) = T_m + (100 - T_m)e^{-kt}$

Ahora, se sabe que T(10) = 70 y T(20) = 55, por lo que

$T(10) = 70 = T_m + (100 - T_m)e^{-10k}\\\\T(20) = 55 = T_m + (100 - T_m)e^{-20k}$

Es decir, tenemos un sistema de ecuaciones no lineales

Lo que se puede hacer es lo siguiente

$e^{-20k} = (e^{-10k})^2\\\\e^{-10k} = \frac{70 - T_m}{100 - T_m}\\\\e^{-20k} = (\frac{70 - T_m}{100-T_m})^2 \\\\\\(100 - T_m)e^{-20k} = \frac{(70 - T_m)^2}{100 - T_m} = 55 - T_m$

Y por lo tanto, nos queda la ecuación

$(70-T_m)^2 = (55 - T_m)(100- T_m)\\\\4900 - 140T_m + T_m^2 = 5500 - 155T_m + T_m^2\\\\4900 - 140T_m = 5500 - 155T_m\\\\15T_m = 5500 - 4900 = 600\\\\T_m = 40$

Teniendo esto, se sustituye en la primera ecuación que despejamos

$e^{-10k} = \frac{70 - 40}{100 - 40} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2\\}\\-10k = -ln(2)\\\\k = \frac{ln(2)}{10}$

Y por lo tanto, la Ecuación de temperatura queda expresada por

$T(t) = 40 + (100 - 40)e^{-\frac{t}{10}ln(2)} = 40 + 60\times2^{-t/10}$