Question

UN RECIPIENTE HEMISFERICO NO CONDUCTOR DE RADIO INFERIOR R TIENE UNA CARGA TOTAL Q DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE EN SU SUPERFICIE INTERIOR ENCONTRAR LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO EN EL CENTRO DE LA CURVATURA

Answer 1

La intensidad del campo eléctrico en el centro de la semiesfera es igual a $E=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R^2}$

Explicación paso a paso:

Si consideramos que el espesor del recipiente es infinitesimal, podemos suponer una distribución superficial de carga y plantear la ley de Coulomb:

$dE=k\frac{dQ}{R^2}=k\frac{\sigma.dS}{R^2}$

Si consideramos que el centro de la semi-esfera es el origen, el problema es más sencillo utilizando las coordenadas esféricas. Como la coordenada R son esferas concéntricas con el origen, esta es una coordenada invariante. Se integra respecto de las coordenadas θ y φ. Allí nuestro diferencial de área es:

$dS=R^2.d\phi.d\theta$

Y como una es una semiesfera, una de las coordenadas va de 0 a 180° y la otra de 0 a 360°.

Nótese además que si la carga está uniformemente distribuida, las componentes paralelas al plano de corte se anulan por lo que el campo es perpendicular al plano de corte. La integral queda:

$E=\int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^\pi_0 {k\frac{\sigma}{R^2}}R^2.sen(\phi) \, d\phi d\theta\\\\E=k\sigma\int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^\pi_0 sen(\phi) \, d\phi d\theta\\\\E=k\sigma\int\limits^{2\pi}_0 [-cos(\phi)]^{\pi}_0 d\theta\\\\E=2k\sigma\int\limits^{2\pi}_0d\theta=4\pi k\sigma$

Pero como la distribución superficial es igual a la carga total dividida entre la superficie de la semiesfera queda:

$E=4\pi k\frac{Q}{2\pi R^2}=2k\frac{Q}{R^2}\\\\k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}=>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0R^2}$