Question

Un parque tiene la forma de un círculo que visualizado desde el aire sobre un sistema como Google Maps ubica tres puntos que pertenecen a la circunferencia (borde del círculo). Sean los puntos A (2,2) B(-2,-2) y C(0;2 − 2√3) que forman parte de dicha circunferencia


a. Determina la ecuación de la circunferencia


b. Calcula el radio y centro de la circunferencia


c. Calcula el área del parque y su perímetro ​

Answer 1

La forma general de la ecuación de una circunferencia es:

x² + y² + a x + b y + c = 0

Buscamos las constantes a, b y c, sabiendo que pasa por los puntos dados.

(2, 2): 8 + 2 a + 2 b + c = 0

(-2, -2): 8 - 2 a - 2 b + c = 0

(0, 2-2√3): (2-2√3)² + (2-2√3) b + c = 0

Tenemos un sistema lineal 3 x 3 que resuelvo directamente, por razones de brevedad.

a = 4, b = - 4, c = - 8

a) La ecuación general es:

x² + y² + 4 x - 4 y - 8 = 0

b) Buscamos la forma ordinaria completando cuadrados.

x² + 4 x + 4 + y² - 4 y + 4 = 8 + 4 + 4 = 16

(x + 2)² + (y - 2)² = 16

radio = 4; centro: (- 2, 2)

c) A = π . 16 ≅ 50,3

L = 2 π . 4 ≅ 25,1

Adjunto gráfico con los puntos de referencia y centro.

Mateo

Answer 2

La ecuación de la circunferencia presentada es igual a 2x² + 2y² +  (7 - √3)x + (√3 - 7)y  = 16

Tenemos tres puntos de la circunferencia entonces si la misma es de la forma:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Entonces sustituimos los puntos que pasan por ella:

A: (2)² + (2)² + A*(2) + B*(2) + C = 0

⇒ 4 + 4 + 2A + 2B + C = 0

⇒1. 2A + 2B + C = -8

B: (-2)² + (-2)² + A*(-2) + B*(-2) + C = 0

⇒ 4 + 4 - 2A - 2B + C = 0

⇒2. -2A - 2B + C = -8

C: (0)² + (2 - 2√3)² + A*(0) + B*(2 - 2√3) + C = 0

⇒ 0 + (2)² - 2*2*(2√3) + (√3)² + 0 + B*(2 - 2√3) +  C = 0

⇒4 - 8√3 + 3 - B*(2 - 2√3) + C =  0

⇒3. B*(2 - 2√3)  + C = 8√3 - 7

Sumamos las ecuaciones 1 y 2:

2C = - 16

C = -16/2

C = -8

Sustituimos en 1 el valor de C:

2A + 2B - 8 = - 8

⇒2A  + 2B = 0

⇒ 2A = - 2B

⇒A = -2B/2

⇒ 4. A = -B

Sustituimos el valor de C en 3:

B*(2 - 2√3)  + 3 = 8√3 - 7

B*(2 - 2√3) = 8√3 - 7 - 3

B*(2 - 2√3) = 8√3 - 10

B = (8√3 - 10)/(2 - 2√3)

B = (8√3 - 10)/(2 - 2√3)*((2 + 2√3)/(2 + 2√3))

B = ((8√3 - 10)*(2 + 2√3))/(2²- (2√3)²)

B = (16√3 + 16*3 - 20 - 20√3)/(4 - 4*3)

B = (28 - 4√3)/(-8)

B = (4√3 - 28)/8

B = (√3 - 7)/2

Ahora sustituimos el valor de B en la ecuación 4:

A = - (√3 - 7)/2

A = (7 - √3)/2

Ahora la ecuación de la circunferencia es:

x² + y² + (7 - √3)/2*x +  (√3 - 7)/2*y - 8 = 0

Multiplicamos por 2

2x² + 2y² +  (7 - √3)x + (√3 - 7)y - 16 = 0

2x² + 2y² +  (7 - √3)x + (√3 - 7)y  = 16

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