Question

1) La población del estado de La Florida en 1990 era de 13 millones de habitantes. En el año 2015 era de 20,3 millones de habitantes.

Calcule, usando la finción exponencial P(t)=Po ekt el ritmo de crecimiento anual en porciento (aproximar hasta la décima de porciento). De continuar a ese ritmo de crecimiento, diga en qué año se logrará alcanzar el doble de la cantidad que había en 1990.

2) Una cuenta de ahorros tiene $10,000. Se le aplica un interés compuesto por trimestre del 2.5% anual.

Calcular la cantidad de dinero que habrá acumulado en 15 años. Diga cuántos años habría que esperar para alcanzar el doble de dicha cantidad inicial.

Answer 1

Usando el modelo de crecimiento exponencial, en ambos casos, se llega a:

1) La población del estado de La Florida será el doble de la que tenía en 1990 en el año 2029.

2) En 15 años se habrán acumulado $14,550 aproximadamente. El capital será el doble del inicial en aproximadamente 42.72 años.

Explicación paso a paso:

1) La población del estado de La Florida en 1990 era de 13 millones de habitantes. En el año 2015 era de 20.3 millones de habitantes.  ¿En qué año se logrará alcanzar el doble de la cantidad que había en 1990?

Si llamamos  t  =  0  al año 1990,  t  =  25  al año 2015  y denotamos la población en millones de habitantes:

$13~=~P_{o}e^{k(0)}\quad\Rightarrow\quad P_{o}~=~13\quad\Rightarrow\quad P_{(t)}~=~13e^{kt}$

$20.3~=~13e^{k(25)}\quad\Rightarrow\quad k~=~(\frac{1}{25})Ln(\frac{20.3}{13})\quad\Rightarrow\quad P_{(t)}~=~13e^{[(\frac{1}{25})Ln(\frac{20.3}{13})]t}$

Se desea conocer en que año la población es el doble que en 1990, o sea, 26 millones de habitantes:

$26~=~13e^{[(\frac{1}{25})Ln(\frac{20.3}{13})]t}\quad\Rightarrow\quad t~=~\frac{(25)Ln(2)}{Ln(\frac{20.3}{13})}\quad\Rightarrow\quad \bold{t~\cong~38.88}$

La población del estado de La Florida será el doble de la que tenía en 1990 en el año 2029. (1990 + 38.88 años)

2) Una cuenta de ahorros tiene $10,000. Se le aplica un interés compuesto por trimestre del 2.5% anual.  

Aplicaremos el mismo modelo que en 1) considerando que

Po  =  10 mil $

k  =  0.025 (2.5%)

Calcular la cantidad de dinero que habrá acumulado en 15 años.

$P_{(15)}~=~10e^{(0.025)(15)}\quad\Rightarrow\quad \bold{P_{(15)}~\cong~14.55}$

En 15 años se habrán acumulado $14,550 aproximadamente.

Diga cuántos años habría que esperar para alcanzar el doble de dicha cantidad inicial.

Se desea conocer en que año el capital es el doble del inicial, o sea, $29,100:

$29.1~=~10e^{(0.025)t}\quad\Rightarrow\quad t~=~\frac{Ln(2.91)}{0.025}\quad\Rightarrow\quad \bold{t~\cong~42.72}$

El capital será el doble del inicial en aproximadamente 42.72 años.