Question

¿Cuál es la razón del área de un cuadrado inscrito en un semicírculo de radio R y el área del cuadrado inscrito en un círculo completo con el mismo radio R?

Answer 1

Analicemos primero el cuadrado inscrito en una circunferencia:

Observando la imagen adjunta, vemos que se forma un triángulo rectángulo (EBC), donde los catetos es uno de los lados (L), la mitad de otro (L/2), y el radio (R) como hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras:

$h^2=c^2+c^2\\\\R^2=L^2+(\frac{L}{2} )^2\\\\R^2=L^2+\frac{L^2}{4} \\\\R^2=\frac{5}{4} L^2\\\\\frac{4}{5}R^2 =L^2$

Se nos presenta aquí que el valor del lado al cuadrado (que corresponde al área) es igual a (4/5).R²

Procedemos ahora a analizar el cuadrado inscrito en la circunferencia:

De la misma forma que en el cuadrado anterior, podemos ver que se forma el triángulo rectángulo con catetos igual a L/2 y de hipotenusa al radio. Luego:

$R^2=(\frac{L}{2} )^2+(\frac{L}{2} )^2\\\\R^2=\frac{L^2}{4}+ \frac{L^2}{4}\\\\R^2=\frac{L^2}{2} \\\\2R^2=L^2$

Para este caso, se comprueba que el área del cuadrado es igual a 2R²

Calculando la razón entre las dos áreas:

$\frac{\frac{4}{5}R^2 }{2R^2} =0,4$

Podemos decir que la razón entre las dos áreas es igual a 0,4.

Saludos.