Question

Aplicando las reglas de derivación e integración, desarrollar lo siguiente, indicando paso a paso el proceso de resolución en cada una de ella

Answer 1

La primera integral es  $\frac{\sqrt{\pi}}{6}*erf(x)$

La segunda integral es  $\frac{1}{2}*(\frac{e^{8}-1}{e^{9}})$

Explicación paso a paso:

Para resolver la primera se utiliza primero:

método de sustitución de variables:

u = x³

Se derivan ambos lados

du = 3x²dx

La integral se multiplica y divide entre 3 para conseguir el número que nos falta quedando:

$\frac{1}{3}*\int\limits^a_b {3x^2*e^{-x^6} \, dx$

Se reemplazan u y du, quedando

$\frac{1}{3}*\int\limits^a_b e^{-u^2} \, du$

Esta es una integral no elemental que se resuelve por medio de la función error erf(x)

$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} *\int\limits^a_b {e^{-x^2}} \, dx$

Se despeja la integral obteniendo

$\int\limits^a_b {e^{-x^2}} \, dx = erf(x)*\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Sustituyendo en la integral

$\frac{1}{3}*\int\limits^a_b e^{-u^2} \, du= \frac{1}{3}*erf(x)*\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Simplificando

$\frac{\sqrt{\pi}}{6}*erf(x)$

Esta es la solución a la primera integral

Para resolver la segunda integral se realiza:

Aplicar método de sustitución de variables:

u = x2

Se derivan ambos lados

du = 2xdx

La integral se multiplica y divide entre 2 para conseguir el número que nos falta quedando:

$\frac{1}{2}*\int\limits^1_3 {2xe^{-x^2} \, dx$

Se reemplazan u y du, quedando

$\frac{1}{2}*\int\limits^1_3 e^{-u} \, du$

Se vuelve a realizar otro cambio de variable

z = -u

dz = -du

Aplicando menos dentro y fuera de la integral.

$\frac{-1}{2}*\int\limits^1_3 -e^{-u} \, du$

Sustituyendo el cambio

$\frac{-1}{2}*\int\limits^1_3 e^{z} \, dz$

Esta es una integral inmediata que se expresa como

∫eˣ = eˣ

Ya que es una integral definida, nos queda:

$\frac{-1}{2}*(e^{Z_3}-e^{Z_1})$

Devolviendo los cambios

$\frac{-1}{2}*(e^{-u_3}-e^{-u_1})$

Devolviendo u = x² e incluyendo el menos

$\frac{1}{2}*(e^{-x^2_1}-e^{-x^2_3})$

Evaluando en 3 y 1, nos queda:

$\frac{1}{2}*(\frac{1}{e^{1^2}} -\frac{1}{e^{3^2}} )$

$\frac{1}{2}*(\frac{1}{e^{1}} -\frac{1}{e^{9}} ) = \frac{1}{2}*(\frac{e^{9}-e^{1}}{e^{10}})$

Simplificando nos queda

$\frac{1}{2}*(\frac{e^{8}-1}{e^{9}})$