Question

Un cuadrado de lado 1 está inscrito en un triángulo equilátero como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo?

Answer 1

Véase la imagen adjunta.

Si trazamos el segmento JI, podemos observar que el triángulo superior se dividió en dos triángulos rectángulos iguales. Como un triángulo equilátero tiene sus ángulos iguales a 60º, entonces el segmento JI dividió al ángulo BJD en 2 ángulos de 30º.

Sabiendo que el ángulo JID mide 90º y el ángulo IJD mide 30º, podemos concluir que el ángulo IDJ mide 60º. Como sabemos los ángulos del triángulo rectángulo y la longitud del segmento ID (el cateto inferior, el cual mide la mitad de un lado del cuadrado, es decir, 0,5m) podemos utilizar las relaciones trigonométricas para sacar el resto de los lados del triángulo JID.

$tg(60)=\frac{JI}{0,5m} \Rightarrow JI=0,87m\\\\cos(60)=\frac{0,5m}{JD} \Rightarrow JD=1m$

Sacamos el valor del segmento JD, necesitamos ahora calcular el valor del segmento DK.

Ahora bien, podemos decir que el triángulo DCK es semejante al triángulo JID, por lo que podemos utilizar proporcionalidades para sacar el valor de DK.

$\frac{JD}{JI} =\frac{DK}{DC} \\\\\frac{1m}{0,87m} =\frac{DK}{1m} \\\\DK=1,15m$

Por lo tanto, el valor de la longitud de un lado del triángulo va a estar dado por:

$DK+JD=1m+1,15m=2,15m$

Siendo entonces igual a 2,15m

Saludos.