Question

Determinar la integral doble ∬▒xdA sobre la región D (x,y) de tipo I, para un intervalo de 0≤x≤2π y 0≤y≤sen x.

Answer 1

El valor de esa integral es -2π

Para poder resolver la integral dada, debemos que plantearla con los límites de integración dados, la integral es

$\int\limits^{2\pi}_0 {\int\limits^{sin(x)}_0 {x} \, dy } \, dx$

Como la primera integral no depende de x, este se puede sacar de la integral y resolverla

$\int\limits^{2\pi}_0 {\int\limits^{sin(x)}_0 {x} \, dy } \, dx = \int\limits^{2\pi}_0 {x \int\limits^{sin(x)}_0 {1} \, dy } \, dx = \int\limits^{2\pi}_0 {xsin(x)} \, dx$

Si se realiza mediante el método de integración por partes, se llega a que la integral es sin(x) - xcos(x), si se evalúa en x = 2π y x = 0, se tiene

  sin(2π) - (2π)cos(2π) = -2π

-  sin(0)   -    0 * cos(0) = 0

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 - 2π

Es decir, el resultado de la integral doble es - 2π