Question

¿Cuántos números capicúas de seis cifras son múltiplos de 8?

Answer 1

* Se cumple que un número es divisible por 8 si sus últimas 3 cifras son divisibles por 8.

* Sabemos también que un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Ahora bien, podemos relacionar ambas cosas y reducir nuestro número de 6 cifras 3 cifras. ¿Por qué? Porque los 3 primeros dígitos serán igual a los 3 últimos dígitos del número (aunque obviamente, invertidos), así que para cada valor que se asigne a los 3 últimos dígitos, solo le va a corresponder un único número de 3 dígitos para los 3 primeros del número de 6 cifras. Es decir:

Para los 3 últimos dígitos 654, solo existirán los números 456, formándose así: 456654. Para los 3 últimos dígitos 123, solo existirán los números 321 de tal forma que quede 321123.

De esta forma podemos hacer que las 3 primeras cifras sean dependientes de las 3 últimas, y ocuparnos solo de estas.

Volviendo al caso, un número es divisible por 8 si sus últimas 3 cifras son divisibles por 8. Por lo tanto, las 3 últimas cifras del número capicúa deben ser divisibles por 8. lo cual podemos calcular fácilmente:

$\frac{999}{8} =124,875 \Rightarrow 124$

Ahora bien, debemos considerar que no todos los números de 3 cifras divisibles por 8 pueden ser capicuas, ya que debemos eliminar aquellos que terminen con un cero. En este caso, los números múltiplos de 8 que terminan en 0 también son múltiplos de 5. Por lo tanto:

$8\times 5 = 40 \Rightarrow \frac{999}{40} =24,975\Rightarrow 24$

Esto implica que hay 24 números de 3 cifras que son múltiplos de 8 y terminan en 0. Por lo tanto:

124-24=100

Existen 100 números de 6 cifras capicúas que son múltiplos de 8.

Saludos.