E. Se desea construir una ventana normanda como la de la figura (semicírculo montado en un rectángulo), de tal manera que se utilicen 2 m de perfil. La ventana debe permitir el traspaso de la mayor cantidad de luz visible (máxima área). 13. Plantea una función cuadrática que modele este problema. 14. Indica el dominio de la función en el contexto del problema. 15. Hallar el valor máximo de área que se puede tener bajo dichas condiciones. 16. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana?
Respuestas
Estudiando la construcción de la ventana normanda podemos decir que:
- A = 2r - r² -πr²/2 es ecuación cuadrática que modela lo planteado.
- En la función A(r) tenemos como dominio todos los reales, sin embargo en este contexto se toma la parte positiva.
- El máximo valor de área viene siendo A(r) = 0.38 m².
- Las dimensiones son: radio = 0.38 metros y altura = 1.40 metros.
Explicación paso a paso:
13) Inicialmente vamos a plantear dos ecuaciones: una de área y otra de perímetro:
- A = (2r·h) + π·r²/2
- P = 2h + r + π·r
Entonces, teniendo el perímetro lo que haremos será despejar variable de (2) y sustituir en (1):
2 = 2h + r + π·r
2 - r - π·r = 2h
1 - (r - π·r)/2 = h
Sustituimos en la ecuación de área:
A = (2r)·(1 - (r - π·r)/2) + π·r²/2
Simplificamos:
A = 2r - r² -π·r² + π·r²/2
A = 2r - r² -πr²/2; ecuación cuadrática que modela lo planteado.
14) Para la función A(r) tenemos como dominio todos los reales, sin embargo en este contexto se toma la parte positiva porque hablamos de medidas.
15) Para hallar el máxima valor de área lo que haremos será derivar la expresión:
A(r) = 2r - r² -πr²/2
A'(r) = 2 - 2r - πr = 0
2 - 2r - πr = 0
r = 0.38 m
Buscamos la altura:
h = 1 - (0.38 - π·(0.38))/2
h = 1.40 m
Buscamos el área:
A(r) = 2(0.38) - (0.38)² -π(0.38)²/2
A(r) = 0.38 m²; siendo esta el área máxima
16) Las dimensiones son: radio = 0.38 metros y altura = 1.40 metros.
