Question

si el lado de un triángulo equilátero mide 6 cm y el lado de un segundo triángulo mide 4 cm , cuantas veces es el área del primer triángulo con respecto a la del segundo?

Answer 1

Sea "a" un lado de un triángulo equilátero.

Sabemos que el área de un triángulo se mide con la mitad del producto entre la base y la altura (bxh)/2.

Como se observa en la imagen adjunta, la base está dada por uno de los lados (b=a). Lo que necesitamos es determinar el valor de la altura (h):

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la altura en base a sus lados. Como se observa, entre la altura y la mitad de uno de los lados se ha formado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es otro lado del triángulo equilátero. Por lo tanto, podemos decir:

$h^2+(\frac{a}{2} )^2=a^2\\\\h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2 } \\\\h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4} } \\\\h=\sqrt{\frac{3a^2}{4} } \\\\h=\frac{\sqrt{3}a }{2}$

Ahora que hemos determinado el valor de la altura en base a los lados, podemos determinar la fórmula del área:

$(b.h)/2=A\\\\(a.\frac{\sqrt{3}a }{2} )/2=A\\\\\frac{\sqrt{3}a^2 }{4} =A$

Obtuvimos la fórmula del área en base a uno de los lados del triángulo equilátero, por lo que ahora reemplazaremos a por cada lado de los 2 triángulos:

$A_1=\frac{\sqrt{3}(6cm)^2 }{4} =\frac{\sqrt{3}(36cm^2) }{4}=15,59cm^2\\\\A_2=\frac{\sqrt{3}(4cm)^2 }{4} =\frac{\sqrt{3}(16cm^2) }{4}=6,93cm^2$

Tenemos ambas áreas, por lo que ahora procederemos a sacar la razón:

$\frac{A_1}{A_2}= \frac{15,59cm^2}{6,93cm^2}=2,25$

Por lo tanto, el área del primer triángulo (de lado 6cm) es 2,25 veces más grande que el área del segundo triángulo (de lado 4cm). Es decir:

$A_1=2,25A_2$

Saludos.