Question

considerando el triángulo rotatorio limitado por la función y = −3 + 3 y los dos ejes, alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido de revolución por el método se cilindros

Answer 1

El volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje  x   es (1/2)π unidades cúbicas.

Explicación paso a paso:

Vamos a resolver el problema usando el método de cilindros o anillos para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:  $V=2\pi \int\limits^a_b {p_{(x)}h_{(x)} \, dx$  

donde:  

(a, b) es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración  

p₍x₎ es la distancia del rectángulo genérico al eje de giro y representa el radio promedio del anillo de revolución que se genera.  

h₍x₎ es la altura del rectángulo genérico y representa la altura promedio del anillo de revolución que se genera.  

dx es el espesor del anillo de revolución que se genera.  

En el caso que nos ocupa:

(a, b)  =  (0, 1)  

p₍x₎  =  x  

h₍x₎  =  -3x  +  3

El volumen del sólido viene dado por:  

$V=2\pi \int\limits^1_0 (x)(-3x+3)\, dx\qquad \Rightarrow$  

$V=2\pi \int\limits^1_0 (-3x^{2}+3x)\, dx\qquad \Rightarrow$  

$V=2\pi\left[-x^{3}~+~3\frac{x^{2}}{2}\right]\limits^1_0\qquad \Rightarrow$  

$\bold{V~=~\frac{1}{2}\pi \quad unid^{3}}$