Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de área máxima que puede ser cercado con 440 m. de tela de alambre
Respuestas
Anticipo la respuesta. El rectángulo de perímetro 440 m de área máxima resultará ser un cuadrado de lado 110 m.
Veamos cómo se demuestra. Sean x e y la base y la altura del rectángulo.
El área es S = x . y
El perímetro es P = 2 (x + y) = 440; o bien x + y = 220
Despejamos y = 220 - x
Reemplazamos en S
S = x (220 - x) = 220 x - x²
Es una parábola. Dado que abre hacia abajo, el valor máximo de S es la ordenada del vértice.
Buscamos el vértice completando cuadrados en la función S
Cambiamos el signo de la ecuación.
x² - 220 x = - S; completamos cuadrados en x.
x² - 220 x + 12100 = - S + 12100
(x - 110)² = - (S - 12100)
El vértice es V(110, 12100)
El área máxima es entonces 12100 m², que corresponde para x = 110 m
y = 220 - 110 = 110 m
Es decir el terreno es un cuadrado de 110 m de lado.
Adjunto gráfico de S a escala con sus valores críticos.
Mateo.
Las dimensiones de un térreo rectangular para que el área sea máxima son:
largo = ancho = 110 m
El área máxima que puede cercarse con 440 m de tela de alambre es:
12100 m²
¿Cuál es el área de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = a × b
Siendo;
- a: largo
- b: ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de área máxima que puede ser cercado con 440 m. de tela de alambre?
Definir las dimensiones del terreno;
- a: largo
- b: ancho
Ecuaciones
- P = 2a + 2b = 440 m
- A = (a)(b)
Aplicar método de sustitución;
Despejar a de 1;
a = 220 - b
Sustituir a en 2;
A = (220 - b)(b)
A = 220b - b²
Aplicar primera derivada;
A' = d/db (220b - b²)
A' = 220 - 2b
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/db (220 - 2b)
A'' = -2 ⇒ Máximo relativo
Igualar A' a cero;
220 - 2b = 0
2b = 220
b = 220/2
b = 110 m
Sustituir;
a = 220 - 110
a = 110 m
Sustituir;
Amax = 220(110) - (110)²
Amax = 12100 m²
Puedes ver más sobre cálculo del área y optimización aquí:
https://brainly.lat/tarea/4958693
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