Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función
〖f(x)=2x〗^2+5x+6 en el intervalo [-2, 0], en donde use una partición de n=6.
Siga los siguientes pasos:
Graficar la función f(x) en Geogebra.
Ubique con la ayuda de Geogebra los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 6.
Respuestas
La aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=2x^2+5x+6 en el intervalo [-2, 0], en donde use una partición de n=6 es : 14/3 u².
Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo:
f(x) = 2x^2+5x+6 en el intervalo [-2,0] con n = 6
La n-ésima Suma de Riemann:
(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx
a= -2 ; b = 0
Δx = ( b-a)/n
Δx = ( 0-(-2))/n = 2/n
calculo de xi :
xi = a + iΔx = -2+(2/n)i
∑ f(x_i)Δx Sustituir: ∑f( -2+2i/n)*2/n =
= ∑( 2*(-2 +2i/n)^2 +5*(-2+2i/n)+ 6 ) *2/n =
= ∑[2* ( 4 -8i/n+4i²/n²)-10 +10i/n +6]*2/n =
= ∑8/n -16i/n²+8i²/n³-20/n +20i/n²+ 12/n =
=∑ 4i/n²+8i²/n³
= 4/n²∑i +8/n³∑i²
Aplicando la propiedad de la sumatoria ∑Ki = K*∑i ;∑i = n*(n+1 )/2 ∑i² = n*(n+1)*(2n +1)/6 :
= 4/n²*n(n+1)/2 +8/n³* ( n*(n+1)(2n+1 )/6 )=
= 2/n²*n(n+1) +4/3n²*( 2n²+3n +1 )
= 2 +2/n +8/3 + 4/n + 4/3n²
= 14/3 + 6/n + 4/3n²
Ahora se aplica el límite :
Lim (14/3 + 6/n + 4/3n² ) = ( 14/3 +6/∞ +4/3*∞²) = 14/3 u²
n→∞
