. El Food Marketing Institute informa que 17% de los hogares gastan más de $100 en productos de abarrotes. Suponga que la proporción poblacional es p 0.17 y que de la población se toma una muestra aleatoria simple de 800 hogares. a. Exprese la distribución muestral de , la proporción muestral de hogares que gastan más de $100 semanales en abarrotes. b. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción poblacional no difiera en más de 0.02 de la proporción poblacional? c. Conteste el inciso b en el caso de que el tamaño de la muestra sea 1600 hogares.
Respuestas
Se calcula las probabilidades solicitadas haciendo uso de la distribución binomial.
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que conociendo la probabilidad de éxito de un evento se quiere determinar que en n experimento tengamos x éxitos, la función de probabilidad es:
P(X = x) = n!/((n-x)!*x!)*pˣ*(1-p)ⁿ⁻ˣ
El valor esperdo: E(X) = n*p
Entonces en este caso p = 0.17, n = 600
a) La distribución de los datos: es binomial, con p = 0.17 y n = 600, y se espera que la cantidad de hogares que gasten más de $100 sea: 600*0.17 = 102
b) si queremos que no difiera en más de 0.02: entonces queremos que este entre 600*0.15 = 90 y 600*0.19 =114,
Es decir : P(90 ≤ X ≤ 114) = ∑P(X = x) = 600!/((600-x)!*x!)*0.17ˣ*(1-0.17)⁶⁰⁰⁻ˣ x desde 90 hasta 114 = 0.825957551
Para 1600 hogares: se espera que se tengan 1200*0.17 = 204 y que no sdifiera entre 1200*0.15 = 180 y 1200*0.19 = 228
P(180 ≤ X ≤228)= ∑P(X = x) = 1200!/((1200-x)!*x!)*0.17ˣ*(1-0.17)¹²⁰⁰⁻ˣx desde 240 hasta 304 = 0.940406791