Question

lim x-> 0 (1//x) (1/√x+1. -1)

Answer 1

Respuesta:

$-\frac{1}{2}$

Explicación paso a paso:

hola, entonces el limite a resolver será:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}*(\frac{1}{\sqrt{x+1} }-1)$

En este caso, si sustituyéramos directamente nos quedaría una indeterminación $(\frac{1}{0} )$, por lo tanto debemos de buscar ordenar nuestra ecuación de manera que no tengamos esa indeterminación.

Empecemos con la primer multiplicación:

$\lim_{x \to 0} ( \frac{1}{x*\sqrt{x+1} }-\frac{1}{x} )$

Hasta el momento sigue existiendo la indeterminación, ahora probemos a sumar las fracciones, recuerda que:

$\frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{a*d+c*b}{b*d}$

Por lo tanto:

$\lim_{x \to 0} ( \frac{x-x*\sqrt{x+1}}{x^2*\sqrt{x+1}} )$

Hasta el momento seguimos teniendo el mismo problema, por lo que ahora vamos a recurrir a la racionalización, esto es multiplicar por un 1 que nos convenga, es decir,¿concordamos en que a/a sigue siendo uno cierto? , bueno, entonces haremos algo de ese estilo generalmente se hace cambiando el signo de la operacion que se efectua en el numerador, nos queda:

$\lim_{x \to 0} ( \frac{x-x*\sqrt{x+1}}{x^2*\sqrt{x+1}} )*\frac{x+x\sqrt{x+1} }{x+x\sqrt{x+1}}$

resolviendo la multipliación:

$\lim_{x \to 0} ( \frac{x^{2}-(x*\sqrt{x+1}))^2}{(x^2*\sqrt{x+1}) * (x+x\sqrt{x+1})} )\\\\= \lim_{x \to 0} ( \frac{x^{2}-x^2*(x+1)}{(x^3*\sqrt{x+1}) + (x^3*(x+1) } )$

Factorizamos x³ del denominador:

$= \lim_{x \to 0} ( \frac{-x^3}{x^3[(\sqrt{x+1}) + (x+1) ] } )$

Cancelamos términos iguales:

$\lim_{x \to 0} ( \frac{-1}{\sqrt{x+1} + x+1 } )$

Y Finalmente podemos sustituir:

$( \frac{-1}{\sqrt{0+1} + 0+1 } ) = ( \frac{-1}{\sqrt{1}+1 } ) = -\frac{1}{2}$

Espero halla quedado más claro, suerte :)