Dos televisores estan colocados en la vitrina de un almacen de aparatos eléctricos. La altura de la pantalla es la misma . Uno tiene una pantalla ordinaria que mide 5 pulgadas más de ancho que de largo. El otro tiene una pantalla más amplia y de alta definición , que mide de ancho 1.8 veces la altura . La diagonal de la pantalla más ancha mide 14 pulgadas más que la diagonal de la pantalla más pequeña . ¿ Cuál es la altura de las pantallas ????
Respuestas
Respuesta: 27.43 pulgadas✔️ es la altura de las pantallas
Explicación paso a paso:
Una pantalla tiene dos dimensiones: anchura y altura o longitud.
Llamemos a₁ y a₂ a la anchura de las pantallas 1 y 2 respectivamente.
Llamemos d₁ y d₂ a la diagonal de las pantallas 1 y 2 respectivamente.
Llamemos b a la altura de las pantallas (que se refiere a la longitud).
Nos dicen que la pantalla 1 mide 5 pulgadas más de ancho que de largo (altura). Expresado algebraicamente será:
a₁ = b + 5 } Ecuación 1
Nos dicen que la pantalla 2 mide de ancho 1.8 veces la altura.
Expresado algebraicamente será:
a₂ = 1.8b } Ecuación 2
Las pantallas son paralelogramos, así que sus diagonales dividen las pantallas en dos triángulos rectángulos y podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
En el televisor 1:
(d₁)² = (a₁)² + (b)²
Sustituyendo el valor de a₁ en la ecuación 1:
(d₁)² = (b + 5)² + (b)² (d₁)² = b² + 10b + 25 + b²
(d₁)² = 2b² + 10b + 25 } Ecuación 3
En el televisor 2:
(d₂)² = (a₂)² + (b)²
(d₂)² = (1.8b)² + b²
(d₂)² = 3.24b² + b²
(d₂)² = 4.24b²
d₂ = √4.24b²
d₂ = 2.06b } Ecuación 4
Nos dicen que la diagonal de la pantalla más ancha (pantalla 2) mide 14 pulgadas más que la diagonal de la pantalla 1.
Expresado algebraicamente será:
d₂ = d₁ + 14
Nos interesa despejar d₁
d₁ = d₂ - 14
Elevamos al cuadrado la ecuación y se mantiene la igualdad
(d₁)² = (d₂ - 14)²
Sustituimos aquí los valores de la ecuación 3 y la ecuación 4
2b² + 10b + 25 = (2.06b - 14)²
2b² + 10b + 25 = 4.24b² - 57.68b + 196
Agrupamos términos:
4.24b²-2b² - 57.68b -10b + 196 -25 = 0
2.24b² - 67.68b + 171 = 0
Tenemos una ecuación de segundo grado y sabemos calcular la variable que es la altura que nos piden:
Tenemos dos raíces de esta ecuación, pero descartamos la menor por ser demasiado pequeña para un televisor de alta resolución:
b = (67.68+55.21)/4.48 = 122.89/4.48 = 27.43 pulgadas , altura de pantalla
Respuesta: 27.43 pulgadas✔️ es la altura de las pantallas
Verificar
Siendo la altura 27.43 pulgadas
La anchura de la pantalla 1 se obtiene de la ecuación 1
a₁ = b + 5 } Ecuación 1
a₁ = 27.43 pulgadas + 5 pulgadas = 32.43 pulgadas , anchura de pantalla 1 La anchura de la pantalla 2 se obtiene de la ecuación 2
a₂ = 1.8b } Ecuación 2
a₂ = 1.8·27.43 pulgadas = 49.37 pulgadas , anchura de pantalla 2
Aplicando el teorema de Pitágoras calcularemos las diagonales para comprobar que con estas dimensiones, la diferencia de las diagonales es de 14 pulgadas como nos dice el enunciado:
La diagonal 1 la obtenemos de la ecuación 3
(d₁)² = 2b² + 10b + 25 } Ecuación 3
(d₁)² = 2·(27.43)² + 10·27.43 + 25
(d₁)² = 2·752.4 + 274.3 + 25
(d₁)² = 1504.8 + 274.3 + 25
(d₁)² = 1804.1
Extraemos la raíz cuadrada:
d₁ = √1804.1 = 42.47 pulgadas es la diagonal 1
Y la diagonal 2 la obtenemos de la ecuación 4
d₂ = 2.06b } Ecuación 4
d₂ = 2.06·27.43 = 56.50 pulgadas es la diagonal 2
La diferencia entre las diagonales:
d2 - d1 = (56.50 - 42.47)pulgadas = 14.03 ≅ 14 pulgadas✔️ comprobado