Question

Calcule el área del trapecio MNPQ de dos maneras diferentes para demostrar el teorema de Pitágoras

Answer 1

El área del trapecio MNPQ utilizando dos métodos distintos es $A=\frac{2ab+c^2}{2}$

Explicación paso a paso:

Para hallar el área del traécio MNPQ podemos hacerlo de dos formas diferentes. Una es aplicando la fórmula general del área del trapecio, siendo sus bases NQ y PM, y MN su altura, queda:

$A=\frac{NM(PM+NQ)}{2}=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{(a+b)^2}{2}$

Aplicando cuadrado de un binomio tenemos:

$A=\frac{a^2+2ab+b^2}{2}$

Si aplicamos el teorema de pitágoras podemos expresar el área como:

$c^2=a^2+b^2=>A=\frac{2ab+c^2}{2}$

Otra forma de hallar el área del trapecio es sumar las áreas de los tres triángulos que lo forman. Si la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180°, y además los triángulos RNQ y MRP son semejantes, ocurren dos cosas:

En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios, es decir suman 90°.

Los ángulos PRN y RQN son congruentes, por consiguiente QRN y PRN son ángulos complementarios. Como todos los ángulos que confluyen en el punto R suman 180°, el ángulo PRQ es recto.

Entones los tres triángulos son rectángulos, en un triángulo rectángulo si se toma un cateto como base, el área se puede calcular fácilmente como la mitad del producto entre los dos catetos. Y el área del trapecio queda:

$A=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}\\\\A=\frac{2ab+c^2}{2}$

Hemos llegado a la misma expresión que hallamos aplicando el teorema de Pitágoras demostrando así su validez.