Question

La población de México en el 2000 era de 97,483,412 habitantes, supongamos que la población creció el 5% anual, ¿Cuándo rebasará la población la marca de 160 millones si suponemos la tasa de crecimiento constante?

Answer 1

2010

El crecimiento se puede expresar como una función, de la forma:

$f(x)=97483412\times1,05^x$

Donde x son los años posteriores a 2000, (x=1 corresponderá a 2001, y así)

Necesitamos saber cuando la población alcanzará los 160 millones. Dicho de otro modo, necesitamos saber cuando f(x)=160 000 000.

Por lo tanto:

$160000000=97483412\times1,05^x\\\\\frac{160000000}{97483412} =1,05^x\\\\1,64=1,05^x\\\\ln(1,64)=ln(1,05^x)\\\\ln(1,64)=x\times ln(1,05)\\\\x=\frac{ ln(1,64)}{ln(1,05)}\\\\x=10,14$

Siendo 2000+10,14 ≈ 2010 el año donde rebasará la marca de 160 millones.

Dejo esta nota acá por el uso del logaritmo natural. La razón del por qué la ves en la ecuación, es porque la utilicé para convertir el exponente del 1,05 en una multiplicación del ln. La propiedad sería la siguiente (y sirve para un montón de casos, por lo que es bueno saberlo):

$ln(a^b)=b.ln(a)$

Espero que te sirva, saludos!