Respuestas
El producto escalar de (-4u+2v)×(3v-2u) es 8 u² - 16( u×v ) + 6v²
Para poder resolver este ejercicio, debemos plantear los vectores u y v componente a componente, es decir
u = (ux, uy)
v = (vx, vy)
Entonces el resultado de -4u + 2v es
(-4ux, -4uy) + (2vx, 2vy) = (-4ux + 2vx, -4uy + 2vy)
Y 3v - 2u = (3vx, 3vy) + (-2ux, -2uy) = (3vx - 2ux, 3vy-2uy)
El producto escalar de dos vectores a = (ax, ay) y b = (bx, by) es a×b = (ax)(bx) + (ay)(by)
En nuestro caso sería
(-4u+2v)×(3v-2u) = (-4ux + 2vx)(3vx - 2ux) + (-4uy + 2vy)(3vy-2uy)
(-4u+2v)×(3v-2u) = -12(ux)(vx) + 8(ux)² + 6(vx)² - 4(ux)(vx)
+ -12(vy)(vy) + 8(uy)² + 6(vy)² - 4(uy)(vy)
(-4u+2v)×(3v-2u) = -16[ (ux)(vx) + (uy)(vy) ] + 8[ (ux)² + (uy)² ] + 6[ (vx)² + (vy)² ]
Si seguimos simplificando, vemos que la primera expresión es en realidad u × v, la segunda es u² ( el módulo de u al cuadrado) y la tercera es v², es decir
(-4u+2v)×(3v-2u) = -16( u×v ) + 8 u² + 6v²
Es decir, el producto escalar de (-4u+2v)×(3v-2u) es 8 u² - 16( u×v ) + 6v²