Respuestas
Respuesta:
Explicación:
Solución
(a) Una aplicación de la experimento mental de cálculo (EMC)* nos dice que xsen x es un producto;
y = (x)(sen x).
Por lo tanto, por la regla del producto,
dy
dx
= (1)(sen x) + (x)(cos x) = sen x + xcos x
(b) Reccuerda que en la sección 2 es así
y = cosec x =
1
sen x
.
Por lo tanto, por la regla del cociente,
dy
dx
=
(0)(sen x) − (1)(cos x)
sen2x
(recordemos que sen2x es sólo (sen x)2)
=
−cos x
sen2x
=
−cos x
sen x
.
1
sen x
= − cotan xcosec x. (de las identidades en la sección 2)
Nota que acabamos de obtener una derivada de las cinco funciones trigonométricas restantes. Faltan cuatro...
(c) Ya que la función dada es un cociente,
dy
dx
=
(2x + 1)(sen x) − (x2 + x)(cos x)
sen2x
,
y vamos a dejarlo así (no hay ninguna simplificación fácil de la respuesta).
(d) Aquí, una aplicación del EMC nos dice que y es el seno de una cantidad.
Ya que
d
dx
sen x = cos x,
La regla de cadena ( presione la perla para ir a un resumen del tema para una revisión rápida) nos dice que
d
dx
sen u = cos u
du
dx
por lo tanto
d
dx
sen (3x2 − 1) = cos (3x2 − 1)
d
dx
(3x2 − 1)
= 6xcos(3x2 − 1) (coloquemos el 6x en frente para evitar confusión — ve mas abajo)
* Ve el ejemplo 6 en p. 258 en Cálculo Aplicado al Mundo Real, o p. 756 en Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real. Alternativamente, presione aquí para consultar el resumen del tema en línea, donde la EMC también se discute.
Respuesta:
-1/ sen²(x)
Explicación:
d/dx[cos(x)/sen(x)] =
(la derivada del cociente u/v es (u/v)’ = (u’v-uv’)/v²)
= [(cos(x))’· sen(x) – cos(x)·(sen(x))’]/sen²(x) =
(-sen(x)·sen(x) – cos(x)·cos(x))/ sen²(x) =
-(sen²(x)+cos²(x))/sen²(x) = -1/sen²(x)
Otra manera (si se considera la derivada de la cotang como inmediata):
d/dx[cos(x)/sen(x)] =
(cotang(x))’ = -1/ sen²(x)