Question

hola alguien me pude resolver esto es de la materia de Modelos De Optimizacion

Resolver los siguientes dos modelos usando el método simplex para problemas de maximización, realizando la comprobación de la solución óptima.

Max.

1. Max.

z=〖3x〗_1+〖2x〗_2

S/A

〖2x〗_1+〖3x〗_2≤12

〖2x〗_1+x_2≤8

x_1,x_2≥0


2. Max

z=〖4x〗_1+x_2+〖5x〗_3

S/A

x_1+〖2x〗_2+〖5x〗_3≤30

〖2x〗_1+x_2+x_3≤10

〖3x〗_1+〖2x〗_2+x_3≤12

x_1+x_2+x_3≤8

x_1,x_2,x_3≥0

Answer 1

La solución óptima de cada modelo es:

1. z = 13

  x₁ = 3

  x₂ = 2

2. z = 112

   x₁ = 7

   x₂= -1

   x₃= 17

Explicación paso a paso:

1. Max. z = 3x₁+2x₂

S/A

2x₁+3x₂ ≤ 12

2x₁+x₂ ≤ 8

x₁, x₂ ≥ 0  

Aplicar método Simplex;  

Formar sistema de ecuaciones en forma matricial;

Ax = b

$\left[\begin{array}{ccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&\\2&3&1&0&12\\2&1&0&1&8\\-3&-2&0&0&0\end{array}\right]$

f₂-f₁

f₃+3/2f₂

$\left[\begin{array}{ccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&\\2&3&1&0&12\\0&-2&-1&1&-4\\0&5/2&3/2&0&18\end{array}\right]$

-1/2f₂

$\left[\begin{array}{ccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&\\2&3&1&0&12\\0&1&1/2&-1/2&2\\0&5/2&3/2&0&18\end{array}\right]$

f₁-3f₂

f₃-5/2f₂

$\left[\begin{array}{ccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&\\2&0&-1/2&3/2&6\\0&1&1/2&-1/2&2\\0&0&1/2&5/4&13\end{array}\right]$

1/2f₁

$\left[\begin{array}{ccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&\\1&0&-1/4&3/4&3\\0&1&1/2&-1/2&2\\0&0&1/2&5/4&13\end{array}\right]$

• z = 13
• x₁ = 3
• x₂ = 2

sustituir;

z = 3x₁ + 2x₂

13 = 3(3) + 2(2)

13 = 9 + 4

13 = 13

2. z = 4x₁+x₂+5x₃

S/A

x₁+2x₂+5x₃ ≤ 30

2x₁+x₂+x₃ ≤ 10

3x₁+2x₂+x₃ ≤ 12

x₁+x₂+x₃ ≤ 8

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

Aplicar método Simplex;

Sistema de ecuaciones en forma matricial;

Ax = b

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&2&5&1&0&0&0&30\\2&1&1&0&1&0&0&10\\3&2&1&0&0&1&0&12\\1&1&1&0&0&0&1&8\\-4&-1&-5&0&0&0&0&0\end{array}\right]$

f₂-2f₁

f₃-3f₁

f₄-f₁

f₅+4f₁

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&2&5&1&0&0&0&30\\0&-3&-9&-2&1&0&0&-50\\0&-4&-14&-3&0&1&0&-78\\0&-1&-4&-1&0&0&1&-22\\0&7&15&4&0&0&0&120\end{array}\right]$

-1/3f₂

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&2&5&1&0&0&0&30\\0&1&3&2/3&-1/3&0&0&50/3\\0&-4&-14&-3&0&1&0&-78\\0&-1&-4&-1&0&0&1&-22\\0&7&15&4&0&0&0&120\end{array}\right]$

f₁-2f₂

f₃+4f₂

f₄+f₂

f₅-7f₂

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&0&-1&-1/3&-2/3&0&0&-10/3\\0&1&3&2/3&-1/3&0&0&50/3\\0&0&-2&-1/3&4/3&1&0&-34/3\\0&0&-1&-1/3&-1/3&0&1&-16/3\\0&0&-6&-2/3&-7/3&0&0&10/3\end{array}\right]$

-1/2f₃

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&0&-1&-1/3&-2/3&0&0&-10/3\\0&1&3&2/3&-1/3&0&0&50/3\\0&0&1&1/6&-2/3&-1/2&0&17/3\\0&0&-1&-1/3&-1/3&0&1&-16/3\\0&0&-6&-2/3&-7/3&0&0&10/3\end{array}\right]$

f₁+f₃

f₂-3f₃

f₄+f₃

f₅+6f₃

$\left[\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&\\1&0&0&-1/6&-4/3&-1/2&0&7/3\\0&1&0&1/6&7/3&3/2&0&-1/3\\0&0&1&1/6&-2/3&-1/2&0&17/3\\0&0&0&-1/6&-1&-1/2&1&1/3\\0&0&0&1/3&-19/3&-3&0&112/3\end{array}\right]$

• z = 112
• x₁ = 7
• x₂= -1
• x₃= 17

sustituir;

z = 4x₁ + x₂ + 5x₃

112 = 4(7) - 1 + 5(17)

112 = 28 -1 85

112 = 112