Respuestas
En esta página vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los métodos, sólo vamos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Cuando sepamos resolver un sistema, ya podemos resolver problemas de aplicación: Problemas de sistemas.
Recordatorio:
El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo,
el coeficiente de 2x es 2,
el coeficiente de x es 1,
el coeficiente de -x es -1.
Explicaremos los métodos con 4 pasos y mediante un ejemplo.
1. Método de Sustitución
El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.
Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.
Ejemplo 1
Resolución de 6 sistemas de ecuaciones utilizando los métodos básicos: sustitución, igualación y reducción. Sistemas de ecuaciones para secundaria. ESO. Álgebra básica.
Solución
2. Método de Reducción
El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.
Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).
Respuesta:
Básicamente, el método de sustitución consiste en:
Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación).
En la otra ecuación que no hemos utilizado, se sustituye la misma incógnita por el valor obtenido en el paso 1.
Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una incógnita.
Sustituir la incógnita despejada en el paso 3 por su valor numérico (también obtenido en el paso 3) en la ecuación obtenida en el paso 1.
Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.
Vamos a verlo más despacio el método de sustitución con un ejemplo paso a paso.
metodo de sustitucion
Para saber en todo momento a qué ecuación del sistema nos referimos, a la ecuación de arriba le llamaremos primera ecuación y a la de abajo segunda ecuación:
metodo sustitucion
1- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, teniendo en cuenta las reglas de la transposición de términos.
La más fácil para despejar es la «y» en la primera ecuación, ya que no tiene ningún número delante y además tiene un signo más delante, por lo que tan sólo pasando el 5x al otro lado ya tenemos la y despejada:
metodo de sustitucion ejemplos paso a paso
Este es de momento nuestro valor de y, que decimos que está en función de x, porque x está contenida en su resultado. Además, la destacamos encerrándola en un recuadro rojo, porque más tarde tendremos que volver a esta ecuación.
2- En la ecuación que no hemos utilizado, sustituimos la misma incógnita despejada en el paso anterior, por el valor que hemos obtenido.
Es decir, en la segunda ecuación, donde aparece y, lo sustituimos por su valor en función de x:
método de sustitución
Nos queda un ecuación que solamente depende de una incógnita.
3 – Despejamos la incógnita que nos queda.
Ahora tenemos una ecuación que depende sólo de x. Si necesitas ayuda con las ecuaciones de primer grado, dentro de mis cursos, puedes encontrar el Curso de Ecuaciones de Primer Grado, donde explico muy detalladamente cómo resolver ecuaciones de primer grado, con ejercicios resueltos y propuestos para practicar.
Resolvemos la ecuación que nos ha quedado.
En primer lugar, eliminamos el paréntesis cambiando de signo a los términos que estaban dentro:
ecuaciones con dos incognitas
Dejamos en el primer miembro los términos con x y pasamos al segundo miembro los términos que no llevan x:
metodo de sustitucion ecuaciones lineales con dos incognitas
Operamos en ambos miembros:
sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Despejamos la x, pasando el 8 dividiendo al segundo miembro:
como resolver un sistema de ecuaciones con 2 incognitas
Operamos en el segundo miembro y obtenemos el valor numérico de x:
cuales son los metodos para resolver un sistema de ecuaciones
4 – El valor numérico obtenido se sustituye en la ecuación donde despejamos una incógnita en función de otra (paso 1). En nuestro caso, donde despejamos y en función de x:
metodo de sustitucion ejemplos
Sustituimos la x por su valor:metodo de sustitucion ejercicios
5 – Y operamos para obtener el valor numérico de la incógnita que nos queda:
ecuaciones metodo de sustitucion
Por tanto, la solución de este sistema es x=2, y=-2.