Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 45 € el kg?
Respuestas
paso a paso:
40x + 60y = 45 · 100
x + y = 60
x= 60-y
x= 4500 -60y / 40
60- y = 4500 -60y / 40
2400 -40 y = 4500 - 60 y
20 y = 2100
y= 105
Respuesta: 45Kg del café de 40€/Kg y 15Kg del café de 60€/Kg✔️
Explicación paso a paso:
El coste de un producto adquirido al peso se obtiene multiplicando el precio del producto por unidad de peso por el peso que adquirimos del producto:
Sea P el precio por unidad de peso y K el peso adquirido del producto, entonces el coste sería:
Coste = P·K
Si lo que queremos conocer es el precio por unidad de peso, tendremos que dividir el coste pagado entre el peso adquirido del producto:
P = Coste/K
Si tenemos una mezcla de varias cantidades de productos, el coste de la mezcla será el coste de los diferentes componentes de la mezcla, y ese coste de cada componente de una mezcla de ₙ componentes sería:
Coste₁ = Precio₁·K₁
Coste₂ = Precio₂·K₂
Coste₃ = Precio₃·K₃
...
Costeₙ = Precioₙ·Kₙ
Y el precio por unidad de peso de esa mezcla de ₙ componentes sería.
Pₙ = (Precio₁·K₁ + Precio₂·K₂ + Precio₃·K₃ + ... + Precioₙ·Kₙ)/(K₁+K₂+K3+...+Kₙ)
En el problema actual es un caso más sencillo, solo de dos componentes (Café₁ y Café₂) con solo dos precios Precio₁ y Precio₂ y dos pesos K₁ y K₂
Nos proporcionan:
Precio₁ del Café₁ (40€/Kg)
Precio₂ del Café₂ (60€/Kg)
Precio por kilo de la mezcla: (45€/Kg )
Total de kilos de la mezcla: (60Kg)
Aplicamos la fórmula y tenemos:
Precio mezcla = (Precio₁·K₁ + Precio₂·K₂)/(K₁+K₂)
45€/Kg = (40€/Kg·K₁ + 60€·K₂)/60Kg
40€/Kg·K₁ + 60€/Kg·K₂ = 60Kg·45€/Kg } Ecuación 1
K₁ + K₂ = 60Kg } Ecuación 2
Como podemos despejar cada una de las cantidades de la ecuación 2:
K₁ = 60Kg - K₂ } Ecuación 2
y sustituir este valor en la ecuación 1
40€/Kg·(60Kg - K₂) + 60€/Kg·K₂ = 60Kg·45€/Kg } Ecuación 1
Operando tenemos:
2400€ - 40€/Kg·K₂ + 60€/Kg·K₂ = 2700€
20€/KgK₂ = 2700€ - 2400€ = 300€
K₂ = 300€/20€/Kg = 15Kg , esta es la cantidad del Café₂ en la mezcla
K₁ = 60Kg - K₂ = 60Kg - 15Kg = 45Kg , esta es la cantidad del Café₁ en la mezcla
Respuesta: 45Kg del café de 40€/Kg y 15Kg del café de 60€/Kg✔️
Verificar
El precio de la mezcla de 45Kg del café de 40€/kg y 15Kg del café de 60€/Kg lo podemos calcular con la fórmula ya expuesta anteriormente:
Precio mezcla = (Precio₁·K₁ + Precio₂·K₂)/(K₁+K₂)
Precio mezcla = (40€/Kg·45Kg + 60€/Kg·15Kg)/(45Kg+15Kg)
Precio mezcla = (1800€ + 900€)/60Kg = 2700€/60Kg = 45€/Kg✔️