Una de las funciones que se emplean para modelar el crecimiento de una población de animales o la propagación de enfermades es la llamada función logística. Esta función, en su forma más simple, se define como: P(t)= 1/1-e^t. Donde P corresponde a la población en el instante de tiempo t. 223. Realiza un bosquejo de la gráfica de la función anterior. 333. La función P, ¿es creciente o decreciente? 334. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función P(t)? 335. ¿La función P es biyectiva? Argumenta tu respuesta. 336. Determia P^-1, ¿qué representa esta función? .
Respuestas
La función correcta de la logistica es con un signo positivo en la suma del denominador, es biyectiva si tomamos como dominio y rango, reales no negativos.
LA función dada no es la correcta: para obtener el movimiento logistico de hecho si obvervamos su grafica (grafica 1) vemos que no tiene solución en el primer cuadrante, la grafica correcta (grafica 2) es la de la función: P(t)= 1/(1+e^t) como solo nos interesa el primer cuadrante solo usamos este.
La función P = 1/(1+e^t) es decreciente se puede observar en la grafica que a medida que t aumenta P disminuye
El dominio y rango: la función esta definidida en todo "t" sin embargo por "t" representar el tiempo debe ser no negativo y el rango es los números menores que 0.5 (ver grafica 2)
Es biyectiva: si solo consideramos la parte positiva, de lo contrario no lo es.
P = 1/(1+e^t)
1 + e^t = 1/P
e^t = 1/P - 1
t = ln(1/P - 1)
P⁻¹ = ln(1/P - 1)
Representa como se comporta el tiempo respecto a la población