Question

1. Hallar el área con respecto al eje y de la región del plano xy encerrada por;

A = y = 4−x2 y el eje x [2,2]


2. ¿Cuál es la longitud del arco de la parábola y= x2 desde x= 0 a x=1?


3. Calcular ∫0,1 1,2 (x2 − y) dx + (y2 +x ) dy , a lo largo:

a) de una recta de (0,1) a (1,2)

b) de (0,1) a (1,1) y luego de (1,1) a (1,2),

c) de la parábola x=t, y=t2+1

Answer 1

Se calculan el área y longitudes solicitadas que se pueden visualizar claramente

Primero graficamos la región para determina el área a encontrar (gráfica): en rosado la función y las regiónes que encierran el área: es entre la grafica y el eje x = 2, y = 2, y en ázul el área:

$A = \int\limits^2_0{4-x^{2} } \, dx = (4x - x^{3}/3) |^{2}_{0} = 8 - 8/3 - 0 = 16/3 U^{2}$

La longitud del arco de una una curva con función y = f(x) desde a hasta b es:

s = $\int\limits^a_b {(1 + (\frac{dy}{dx})^{2})^{1/2}} \, dx$

La longitud del arco: de una parabola y = x² desde x = 0 (origen) hasta x = 1 se calcula usando la ecuación

dy/dx = 2x

Entonces tenemos

$S = \int\limits^1_0 {(1 +(2x)^{2})^{1/2}} \, dx = \int\limits^1_0{(1 +4x^{2})^{1/2}} \, dx$

$(0.5*ln(|\sqrt{x^{2}+1} +x|) + 0.5*x*\sqrt{x^{2}+1})|^{1}_{0}$

$0.5*ln(\sqrt{2} +1) + 0.5*\sqrt{2}) - (0.5*ln(1) - 0) = 0.5*ln(\sqrt{2} +1) + 0.5*\sqrt{2}) = 1.1477$

3) el ejercicio 3 no se puede resolver pues no se puede visualizar la integral