Question

Resuelve a partir de f(x) = sen3x - senx y su representación gráfica (p.45) 346. Identifica en la gráfica los ceros de la función dada, para 0 ≤ x ≤ 3π. Luego plantea una ecuación, para verificar los valores obtenidos. 347. Resuelve sen3x - senx = 2 de forma algebraica

Answer 1

En la gráfica anexa se identifican 10 puntos de corte con el eje x en el intervalo dado.

Explicación paso a paso:

1.- Identifica en la gráfica los ceros de la función dada, para 0 ≤ x ≤ 3π.  

En la gráfica anexa se observan los puntos en que la gráfica de la función corta el eje de las x.

2.- Luego plantea una ecuación, para verificar los valores obtenidos.  

Vamos a apoyarnos en la Primera Identidad de la Trigonometría, Seno de la suma de ángulos, Seno de la diferencia de ángulos, Coseno del ángulo doble y Seno del ángulo doble:

$\bold{Sen^{2}x + Cos^{2}x = 1\quad \Rightarrow \quad Cos^{2}x = 1 – Sen^{2}x\quad \Rightarrow \quad Sen^{2}x=1-Cos^{2}x}$

$\bold{Sen(\alpha +\beta )=Sen\alpha Cos\beta +Sen\beta Cos\alpha}$

$\bold{Sen(\alpha -\beta )=Sen\alpha Cos\beta -Sen\beta Cos\alpha}$

$\bold{Cos2x= Cos^{2}x -Sen^{2}x}$

$\bold{Sen2x=2Senx Cosx}$

Volviendo a la ecuación:

$Sen3x-Senx=0\quad \Rightarrow \quad Sen(2x+x)-Senx=0\quad \Rightarrow$

$Sen2xCosx+SenxCos2x-Senx=0\quad \Rightarrow \quad (2Senx Cosx)Cosx +Senx(Cos^{2}x -Sen^{2}x)-Senx=0\quad \Rightarrow$

$Senx[2Cos^{2}x +Cos^{2}x –(1-Cos^{2}x)-1]=0\quad \Rightarrow \quad Senx[4Cos^{2}x -2]=0\quad \Rightarrow$

$\bold{Senx=0\quad \Rightarrow \quad x=0~,~x=\pi~,~x=2\pi~,~x=3\pi}$

$4Cos^{2}x -2=0\quad \Rightarrow\quad Cosx =\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \Rightarrow\quad$

$\bold{x=\frac{\pi}{4}~,~x=\frac{\pi}{4}~,~x=\frac{3\pi}{4}~,~x=\frac{5\pi}{4}~,~x=\frac{7\pi}{4}~,~x=\frac{9\pi}{4}~,~x=\frac{11\pi}{4}}$

3.-Resuelve sen3x - senx = 2 de forma algebraica

$Sen3x-Senx=2\quad \Rightarrow \quad Sen(2x+x)-Sen(2x-x)=2\quad \Rightarrow$

$Sen2xCosx+SenxCos2x-( Sen2xCosx-SenxCos2x)=2\quad \Rightarrow \quad 2Senx Cos2x =2\quad \Rightarrow$

$Senx (Cos^{2}x -Sen^{2}x) =1\quad \Rightarrow\quad Senx [(1 – Sen^{2}x) -Sen^{2}x] =1\quad \Rightarrow$

$-2Sen^{3}x + Senx -1 =0\quad \Rightarrow\quad ( Senx+1)(-2Sen^{2}x +2Senx -1) =0\quad \Rightarrow$

$\bold{Senx+1 =0\quad \Rightarrow \quad Senx=-1\quad \Rightarrow\quad x=\frac{3\pi}{2}}$