Question

Se desarrolla un nuevo proceso de cura para cierto tipo de cemento que da como resultado una resistencia media a la compresión de 5000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 120 kilogramos. Para probar la hipótesis de que μ = 5000 contra la alternativa de que μ < 5000 se toma una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento. La región crítica se define como ¯x < 4970. a) Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I cuando H0 es verdadera. b) Evalúe β para las alternativas μ = 4970 y μ = 4960.

Answer 1

Si la media es 5000, tenemos un 0,3085 de probabilidad de cometer error tipo 1, ahora si la media es de 4970 y decimos que es de 5000, tenemos 0,5 de probabilidad de cometer error tipo 2, la cual asciende a 0,5319 si la media es 4960.

Explicación:

Se asume que la media muestral sigue una distribución normal, con media de 5000 y desviación estándar de 120. Se rechazará la hipótesis nula si la media muestral es menor que 4970, por lo que hay que hallar la probabilidad de que la media muestral sea menor que 4970. Como variable z para entrar a las tablas de distribución normal tenemos:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}=z=\frac{4970-5000}{120}=-0,25$

Valor que en las tablas arroja una probabilidad de 0,3085.

a) Ahora bien, el error de tipo 1 se define como el rechazo de la hipótesis nula cuando esta es cierta, en este caso cuando decimos que la media no es 5000 cuando en realidad lo es. Y si la rechazamos cuando la media muestral es menor a 4970, tenemos 0,3085 de probabilidad de cometer error tipo 1.

b) El error tipo 2 por el contrario se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando es cierta la hipótesis alternativa. Aquí vamos a asumir que la media es 5000 si la media muestral nos da mayor o igual a 4970. Para esto vamos a hallar la probabilidad de este resultado siendo la media real 4970 y 4960, para ambos casos las variables z son:

$z_1=\frac{4970-4970}{120}=0\\\\z_2=\frac{4970-4960}{120}=0,08$

Valores que en las tablas nos dan respectivamente 0,5 y 0,4681. Ahora la probabilidad de tener 4970 o más para los dos casos es:

$P(x\geq 4970)=1-P(x\leq 4970)=1-0,5=0,5|_{\mu=4970}\\P(x\geq 4970)=P(x\leq 4970)=1-0,4681=0,5319|_{\mu=4960}$

Por lo que estas son las probabilidades de cometer error tipo 2 para ambas medias poblacionales.