Question

En la figura que se muestra, AE y CD son alturas del triángulo, además CP = 9, AP = 5 y AD = 4. ¿Cuál
es el área del triángulo ABC?

Answer 1

El área del triángulo ABC es de 78.

Explicación paso a paso:

Podemos empezar diciendo que si CD es una de las alturas, entonces el triángulo APD es rectángulo, de él conocemos el cateto AD y la hipotenusa AP. Con lo que podemos hallar DP:

$DP=\sqrt{AP^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Con esto podemos hallar la altura CD como CD=DP+AP=9+3=12.

Nos queda hallar la base AB, de la cual nos falta calcular DB. Bien, los triángulos APD y CEP son rectángulos y tienen cada uno sendos ángulos opuestos por el vértice P, por lo que son semejantes. Al ser semejantes, el ángulo PCE pasa a ser congruente con el ángulo PAD.

Luego podemos concluir que como el triángulo CDB es rectángulo y está la congruencia antes hallada, es semejante con APD. Y las relaciones de lados homólogos son:

$\frac{DP}{DB}=\frac{AD}{DC}\\\\DB=DP\frac{DC}{AD}$

$DB=3\frac{12}{4}=9$

Luego la base AB es AB=AD+DB=4+9=13. Y el área del triángulo es:

$A=\frac{AB.DC}{2}=\frac{13.12}{2}=78$