Question

Necesito un problema de lógica transitiva

Answer 1

Respuesta:

Sea A = {a, b, c, 8, 13}. Consideremos la relación binaria R = {(a, b), (b, c),

(8, 13)}.

a) Completar la relación binaria R para que sea una relación de orden.

b) Completar la relación binaria R para que sea reflexiva y transitiva, pero

no sea simétrica ni antisimétrica.

c) Completar la relación del apartado b) para que sea una relación de

equivalencia.

Solución:

a) Para que R sea una relación de orden debe de ser reflexiva, antisimétrica

y transitiva. Para ser reflexiva necesitamos añadir todos los pares (x, x)

para cualquier x œ A. La propiedad antisimétrica la conseguimos simplemente evitando que los pares (x, y) e (y, x) con x ∫ y aparezca a la vez en

R. Por último, para que satisfaga la propiedad transitiva hemos de añadir

los pares (x, z) siempre que en R estén los pares (x, y) e (y, z) para cualesquiera x, y, z œ A. Consideremos, por ejemplo, el siguiente conjunto R

In[258]:= A = 8a, b, c, 8, 13<;

R =

88a, b<, 8b, c<, 88, 13<, 8a, a<, 8b, b<, 8c, c<, 88, 8<, 813, 13<, 8a, c<<;

Ejercicios 8.nb 1

In[260]:= Reflexiva = True; For@n = 1, n ≤ Length@AD, n++,

If@Intersection@88A@@nDD, A@@nDD<<, RD 88A@@nDD, A@@nDD<<,

Null, Reflexiva = FalseDD; Simetrica = True;

For@m = 1, m ≤ Length@RD, m++, If@Intersection@88R@@m, 2DD, R@@m, 1DD<<, RD

88R@@m, 2DD, R@@m, 1DD<<, Null, Simetrica = FalseDD;

Transitiva = True; For@p = 1, p ≤ Length@RD, p++,

For@q = 1, q ≤ Length@RD, q++,

If@R@@p, 1DD R@@q, 2DD, If@Intersection@88R@@q, 1DD, R@@p, 2DD<<, RD

88R@@q, 1DD, R@@p, 2DD<<, Null, Transitiva = FalseDD;D;D;

Antisimetrica = True; For@r = 1, r ≤ Length@RD, r++,

If@Intersection@88R@@r, 2DD, R@@r, 1DD<<, RD 88R@@r, 2DD, R@@r, 1DD<< &&

! HToString@R@@r, 1DDD ToString@R@@r, 2DDDL, Antisimetrica = FalseDD;

If@Reflexiva, Print@"R es reflexiva"D, Print@"R no es reflexiva"DD

If@Simetrica, Print@"R es simétrica"D, Print@"R no es simétrica"DD

If@Transitiva, Print@"R es transitiva"D, Print@"R no es transitiva"DD

If@Antisimetrica, Print@"R es antisimétrica"D,

Print@"R no es antisimétrica"DD;

If@Reflexiva && Simetrica && Transitiva,

Print@"R es una relación de equivalencia"D,

Print@"R no es relación de equivalencia"DD;

If@Reflexiva && Antisimetrica && Transitiva,

Print@"R es una relación de orden"D, Print@"R no es relación de orden"DD

R es reflexiva

R no es simétrica

R es transitiva

R es antisimétrica

R no es relación de equivalencia

R es una relación de orden

Explicación: