El número natural más pequeño tal que al dividirlo por 3 deja residuo 2, y al dividirlo por 11 tiene residuo 7
Respuestas
El número natural más pequeño que cumple con estas condiciones es el 128
Para poder ver esto, debemos aplicar el teorema chino del resto al siguiente sistema de ecuaciones
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 7 mod 11
Estas dos ecuaciones son las condiciones dadas respectivamente
El teorema chino del resto nos dice lo siguiente:
Sea a1 = 2, a2 = 7, q1 = 11 y q2 = 3
Entonces el valor de x que cumple con las dos condiciones es entonces
x = (a1)(q1)(r1) + (a2)(q2)(r2) = 22r1 + 21r2
Donde r1 y r2 son soluciones de las ecuaciones
(q1)r1 ≡ 1 mod 3 ⇒ 11r1 ≡ 1 mod 3
(q2)r2 ≡ 1 mod 11 ⇒ 3r2 ≡ 1 mod 11
De la primera ecuación, vemos que si hacemos a r1 = 2, tenemos 2*11 = 22 = 21 + 1 = 3(7) + 1; es decir, r1 = 2 es una solución de la ecuación.
Ahora bien, si en la segunda ecuación se hace r2 = 4, tenemos que 3*r2 = 12 = 11(1) + 1. Nuevamente, r2 = 4 es una solución.
Como hemos hallado r1 y r2, tenemos el valor de x, el cual es
x = 22(2) + 21(4) = 44 + 84 = 128
Es decir, El número natural más pequeño que cumple con estas condiciones es el 128