Question

Para altitudes h de hasta 10,000 metros, la densidad D de la atmósfera de la Tierra (en kg/m3) se puede aproximar con la fórmula D = 1.225 − (1.12 × 10−4 )h + (3.24 × 10−9 )h 2 . Aproxime la altitud si la densidad de la atmósfera es de 0.74 kg/m3

Answer 1

Según esta expresión, una densidad de 0,74 kilogramos por metro cúbico se da a una altura de 5077 metros.

Explicación paso a paso:

Si con esta expresión se puede aproximar la densidad en función de la altitud, no hay más que igualarla a la densidad resultante a la altitud buscada que es el dato que nos dan:

$0,74=1,225-(1,12\times 10^{-4})h+(3,24\times 10^{-9})h^2$

Nos queda pasar todo a un solo miembro y resolver la ecuación cuadrática:

$0=0,485-(1,12\times 10^{-4})h+(3,24\times 10^{-9})h^2\\\\h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ\sqrt{(-1,12\times 10^{-4})^2-4.0,485.3,24\times 10^{-9}}}{2.3,24\times 10^{-9}}\\\\h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ\sqrt{1,2544\times 10^{-8}-6,2856\times 10^{-9}}}{6,48\times 10^{-9}}$

Para poder efectuar la operación en el interior del radical tenemos que hacer que los exponenciales tengan el mismo exponente, podemos hacer que en ambos sumandos el exponente sea -8:

$h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ\sqrt{1,2544\times 10^{-8}-6,2856\times 10^{-1}10^{-8}}}{6,48\times 10^{-9}}\\\\h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ\sqrt{1,2544\times 10^{-8}-0,62856\times 10^{-8}}}{6,48\times 10^{-9}}\\\\h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ7,91\times 10^{-5}}{6,48\times 10^{-9}}$

Nuevamente, convertimos a -4 el exponente de ambos sumandos en el numerador:

$h=\frac{1,12\times 10^{-4}\ñ0,791\times 10^{-4}}{6,48\times 10^{-9}}\\\\h=29492m\\\\h=5077m$

El primer resultado no está en el intervalo de aproximación por lo que se considera inválido. La altura aproximada es 5077 metros.