Question

PROBLEMA 6

Un número es de Duarte si tiene cinco dígitos no nulos y el producto de sus dígitos equivale a la suma de sus dígitos. Determine todos los números de Duarte.

Answer 1

Los números de Duarte son 11133, 11331, 13311, 13131, 33111, 31311, 31131, 31113, 12511, 15211, 11125, 11152, 12151, 15121, 12115, 15112, 51112,21115, 51211, 21511, 51121, 21151, 22211, 11222, 22121, 21221, 12221, y  todas las combinaciones que tengan esas cifras.

Explicación paso a paso:

Los números de Duarte tienen, entonces, cinco cifras no nulas ya que de ser cero una de ellas el producto de las cifras es cero. Por lo que hablamos siempre de números de cinco cifras. La expresión a analizar es:

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=a_1.a_2.a_3.a_4.a_5$

Donde los an son números naturales que pueden tomar cualquier valor entre 1 y 9, siendo las combinaciones posibles $9^5=59049$. Probemos con los casos en que todos los dígitos son 1 menos uno:

$a_1+4=a1$

Así podemos probar con cualquier dígito y vemos que tales números no son de Duarte. Ahora con dos dígitos distintos de 1:

$a_1+a_2+3=a_1.a_2$

Probando con cada combinación vemos que a1 y a2 tienen que valer 3 y 3, 5 y 2 ó 2 y 5 respectivamente. Ahora probemos con dos unos:

$a_1+a_2+a_3+2=a_1.a_2.a_3$

Aquí se agregan los números que tienen 2 cifras igual a 1 y 3 cifras igual a 2. Probemos con un solo 1:

$a_1+a_2+a_3+a_4+1=a_1a_2a_3a_4$

Probando con cada combinación vemos que no hay equivalencias en este caso.