Question

Demostrar que la ecuación x^2 − 4x − 6y − 14 = 0 es una parábola y determinar el vértice, foco, directriz y graficar con la ayuda de GeoGebra.

Answer 1

La expresión corresponde efectivamente a una parábola con vértice en (2,-3), el foco es (2,-3/2) y su recta directriz en y=-3/2. En la imagen adjunta está su gráfica.

Explicación:

La expresión de toda parábola es:

$(x-x_0)^2=4c(y-y_0)~o~4c(x-x_0)=(y-y_0)^2$

Donde x0 e y0 son las coordenadas del vértice y c define a la recta directriz, que según a qué variable multiplique será x=-c ó y=-c.

Si desarrollamos la expresión que nos dan tenemos que es:

$x^2-4x-6y-14=0\\x^2-4x-6y+4-18=0\\\\(x-2)^2-6y-18=0\\\\(x-2)^2=6(y+3)$

Donde efectivamente vemos que corresponde a una parábola con vértice en V(2,-3) y cuya recta directriz es y=-3/2. El foco es el punto que sobre el eje de simetría equidista de la directriz respecto de la curva, por lo que si el eje de simetría es x=2, y el vértice está en V(2,-3), el foco es F(2,-3/2).