Question

Me ayudan por favor
Encuentra el área de la región entre la parábola x=y^2-2 y la recta x=y en el intervalo [-2,2], de la siguiente manera
Grafica la recta y la parábola
Encuentra los puntos de intersección
Calcula el área como la suma de las dos regiones determinadas por b), que debes utilizar como límite de integración de las diferencias de las funciones adecuadas.

Answer 1

El área bajo las curvas x = y²-2, x = y es:

A = 16/3 unidades

Explicación:

Datos;

Parábola: x = y²-2  ⇒ y = √x+2

recta: x = y

intervalo [-2,2]

Hallar los puntos de intersección:

igualar;

y²-2  = y

igualar cero;

y²-y -2  = 0

Aplicar la resolvente;

y₁,₂ = [1±√1²-4(1)(-2)]/2

y₁,₂ = [1±√9)]/2

y₁,₂ = [1±3)]/2

y₁ = 2  ⇒ x₁ = 2

y₂ = -1 ⇒ x₂ = -1

Calcular el área bajo la curva;

$\int\limits^a_b {f(x)-g(x)} \, dx$

Siendo;

a = -2

b = 2

f(x) = √x+2

g(x) = x

Sustituir;

$\int\limits^2_{-2} {(\sqrt{x+2} +x)} \, dx$

$\int\limits^2_{-2} {(\sqrt{x+2})} \, dx + \int\limits^2_{-2}{x} \, dx$

$\int\limits^2_{-2}{x} \, dx = 0$

cambio de variable:

u = x+2, du = 1 sustituir;

$\int\limits^2_{-2} {\sqrt{u}} \, du =\int\limits^2_{-2} {u^{1/2} } \, du$

$=\frac{u^{1/2+1} }{1/2+1} = \frac{2u^{3/2} }{3}$

devolver el cambio;

= 2/3(x+2)^{3/2}

evaluar;

= 2/3(2+2)^{3/2} - 2/3(-2+2)^{3/2}

= 16/3