Proponga las medidas de un cilindro recto cuya capacidad sea de 1000cm3.
Compruebelo y determine el precio de la construccion si se utiliza un material que tiene un grosor de un mimometro y su costo es de un centavo el cm2
Respuestas
Yo elegiría la forma que necesite la menor cantidad posible de material, la forma que tenga menor superficie.
Superficie total: S = 2 π r . h + 2 π r² (superficie lateral más las dos bases)
La relación entre r y h surge del volumen del cilindro.
V = π r² . h = 1000
Luego h = 1000 / (π r²)
Reemplazamos en S
S = 2 π r . 1000 / (π r)² + 2 π r²; simplificamos:
S = 2000 / r + 2 π r²
Una función es mínima (o máxima) en los puntos en que su primera derivada es nula (condición necesaria). Si es mínima la segunda derivada debe ser positiva.
Derivamos: S' = 4 π r - 2000 / r²
S'' = 4 π + 4000 / r³; positiva porque r es positivo.
S' = 4 π r - 2000 / r² = 0
Implica r = ∛(500 / π) ≅ 5,42 cm
h = 1000 / (π . 5,42²) ≅ 10,8 cm
Radio del cilindro: 5,42 cm
Altura del cilindro: 10,8 cm
La superficie es S = 2000 / 5,42 + 2 π 5,42² ≅ 553 cm²
Costo = 553 cm² . 1/100 = 5,53 unidades de moneda
Adjunto dibujo del gráfico superficie - radio donde se aprecia el valor mínimo.
Mateo.
