Question

Determine si el límite de las siguientes funciones existe o no existe. Explique su respuesta.

Answer 1

En la primera función el límite no existe, mientras que en la segunda el límite es igual a ln(2).

Explicación paso a paso:

En la primera función podemos intentar hallar el límite simultáneo:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^9-5y^8}{x^8-9y^22}$

Encontrándonos con una indeterminación 0/0, si la indeterminación se puede salvar mediante álgebra el límite pasa a existir, pero en este caso no se puede, pasemos a los límites iterados:

$\lim_{x\to 0}(\lim_{y\to 0} \frac{x^9-5y^8}{x^8-9y^22})=\lim_{x\to 0} \frac{x^9}{x^8}=0\\\\\lim_{y\to 0}(\lim_{x\to 0} \frac{x^9-5y^8}{x^8-9y^22})=\lim_{y\to 0} \frac{-5y^8}{-9y^{22}}=+\infty$

Los límites iterados son distintos, por lo que el límite no existe en (0,0).

En la segunda función tenemos:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} ln(\frac{12+y^{10}}{x^8+6})=ln(\frac{12}{6})=ln(2)$

En este caso el límite simultáneo existe, condición suficiente para concluir que el límite existe y vale ln(2).