Question

Encontrar las asíntotas en las siguientes funciones:

Answer 1

Cada función tiene las siguientes asíntotas:

a) x=-4 e y=1

b) x=-5 e y=3

c) x=-2 e y=5x-10

d) x=-2, x=2 e y=0

e) x=-2 e y=3/7.

Explicación paso a paso:

Las asíntotas de una función pueden ser horizontales, verticales u oblícuas.  Hay asíntotas verticales si para un valor del dominio la función no está definida y en ese punto existe un salto infinito. Eso ocurre, en estas funciones donde el denominador se anula. Y tenemos para cada función:

$f(x)=\frac{x+2}{x+4}; x+4=0=> x=-4~es~asintota\\f(x)=\frac{3x+2}{x+5}; x+5=0=> x=-5~es~asintota\\f(x)=\frac{5x^2-3}{x+2}; x+2=0=> x=-2~es~asintota\\f(x)=\frac{3x}{x^2-4}; x^2-4=0=> x=-2~y~x=2~son~asintotas\\f(x)=\frac{3x}{7x+14}; 7x+14=0=> x=-2~es~asintota$

Como vemos todas las funciones tienen asíntotas verticales. Ahora las asíntotas horizontales existen cuando los límites hacia infinito o menos infinito existen. Y la asíntota horizontal es una función constante cuyo valor es ese límite:

$f(x)=\frac{x+2}{x+4}; \lim_{x \to \ñ\infty} f(x)=1=> asintota~horizontal~en~y=1 \\f(x)=\frac{3x+2}{x+5}; \lim_{x \to \ñ\infty} f(x)=3=> asintota~horizontal~en~y=3 \\f(x)=\frac{5x^2-3}{x+2};\lim_{x \to \ñ\infty} f(x)=\ñ\infty=> no~hay~asintota~horizontal\\f(x)=\frac{3x}{x^2-4}; \lim_{x \to \ñ\infty} f(x)=0=> asintota~horizontal~en~y=0\\f(x)=\frac{3x}{7x+14}; \lim_{x \to \ñ\infty} f(x)=3/7=> asintota~horizontal~en~y=3/7$

Aquí se han obviado los procedimientos para salvar las indeterminaciones de tipo infinito sobre infinito, en todos los casos se divide numerador y denominador por 'x' elevado al máximo exponente de toda la expresión y luego se recalcula el límite. También puede aplicarse L'Hoppital.

Si hay asíntotas horizontales no hay asíntotas oblícuas, la única función que no tiene asíntota horizontal es la 'c', intentemos hallar la asíntota oblícua, su pendiente es:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2-3}{x(x+2)}=\\\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2-3}{x^2+2x}=\lim_{x \to \infty} \frac{5\frac{x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}}=5$

Y su ordenada al origen es:

$\lim_{x \to \infty} f(x)-mx= \lim_{x \to \infty} f(x)-5x=\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2-3}{x+2}-5x\\=\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2-3-5x^2-10x}{x+2}=-10$

Efectivamente tiene la asíntota oblícua y=5x-10

Answer 2

Respuesta:

Cada función tiene las siguientes asíntotas:

a) x=-4 e y=1

b) x=-5 e y=3

c) x=-2 e y=5x-10

d) x=-2, x=2 e y=0

e) x=-2 e y=3/7.

Explicación paso a paso:

Las asíntotas de una función pueden ser horizontales, verticales u oblícuas.  Hay asíntotas verticales si para un valor del dominio la función no está definida y en ese punto existe un salto infinito. Eso ocurre, en estas funciones donde el denominador se anula. Y tenemos para cada función:

Como vemos todas las funciones tienen asíntotas verticales. Ahora las asíntotas horizontales existen cuando los límites hacia infinito o menos infinito existen. Y la asíntota horizontal es una función constante cuyo valor es ese límite:

Aquí se han obviado los procedimientos para salvar las indeterminaciones de tipo infinito sobre infinito, en todos los casos se divide numerador y denominador por 'x' elevado al máximo exponente de toda la expresión y luego se recalcula el límite. También puede aplicarse L'Hoppital.

Si hay asíntotas horizontales no hay asíntotas oblícuas, la única función que no tiene asíntota horizontal es la 'c', intentemos hallar la asíntota oblícua, su pendiente es:

Y su ordenada al origen es:

Efectivamente tiene la asíntota oblícua y=5x-10

Explicación paso a paso: