Question

.- Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas con raíces imaginarias (2.5 puntos)

a) x2 – 2x + 2 = 0
b) 2x2 – 2x + 5 = 0
c) x2 + 144 = 0
d) 5x2 – 20x + 15 = 0
e) x2 + 4x + 2 = 0

Answer 1

Las Raíces solución de estas Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas se pueden obtener mediante la Resolvente; cuya fórmula es:

X₁,₂ = {– B ± √[(B)² – 4AC]} ÷ 2A

Donde:

A: coeficiente que acompaña al termino cuadrático.

B: coeficiente que acompaña al termino elevado a la unidad.

C: Coeficiente del término independiente o constante.

Se aplicará a todas las ecuaciones suministradas.

a) x² – 2x + 2 = 0  

A = 1; B = – 2 ; C = 2

X₁,₂ = {– (– 2) ± √[(– 2)² – 4(1)(2)]} ÷ 2(1)

X₁,₂ = {2 ± √[4 – 8]} ÷ 2

X₁,₂ = {2 ± √[– 4]} ÷ 2

La teoría de los Números Complejos (ℂ) o Imaginarios establece que la raíz de menos uno (√– 1) es su base y se denota como “i” o “j”

√– 1 = i

X₁,₂ = {2 ± i√4} ÷ 2

X₁,₂ = {2 ± 2i} ÷ 2

X₁ = {2 + 2i} ÷ 2

X₁ = 1 + i

X₂ = {2 – 2i} ÷ 2

X₂ = 1 – i

b) 2x² – 2x + 5 = 0  

A = 2; B = – 2 ; C = 5

X₁,₂ = {– (– 2) ± √[(– 2)² – 4(2)(5)]} ÷ 2(2)

X₁,₂ = {2 ± √(4 – 40)} ÷ 4

X₁,₂ = {2 ± √(– 36)} ÷ 4

X₁,₂ = {2 ± i√36} ÷ 4

X₁,₂ = {2 ± 6i} ÷ 4

X₁,₂ = 1/4 ± 3/2i

c) x² + 144 = 0  

A = 1; B = 0 ; C = 144

X₁,₂ = {– (0) ± √[(0)² – 4(1)(144)]} ÷ 2(1)

X₁,₂ = ± √( – 576) ÷ 2

X₁,₂ = ± i√576 ÷ 2

X₁,₂ = ± 24i ÷ 2

X₁,₂ = ± 12i

d) 5x² – 20x + 15 = 0  

A = 5; B = – 20; C = 15

X₁,₂ = {– (– 20) ± √[(– 20)² – 4(5)(15)]} ÷ 2(5)

X₁,₂ = {20 ± √(400 – 300)} ÷ 10

X₁,₂ = {20 ± √(100)} ÷ 10

X₁,₂ = {20 ± 10} ÷ 10

X₁,₂ = 2 ± 1

X₁ = 2 + 1

X₁ = 3

X₂ = 2 – 1

X₂ = 1

e) x² + 4x + 2 = 0

A = 1; B = 4 ; C = 2

X₁,₂ = {– (4) ± √[(4)² – 4(1)(2)]} ÷ 2(1)

X₁,₂ = {– 4 ± √(16 – 8)} ÷ 2

X₁,₂ = {– 4 ± √(8)} ÷ 2

X₁,₂ = {– 4 ± 2,83} ÷ 2

X₁ = {– 4 + 2,83} ÷ 2

X₁ = – 1,17 ÷ 2

X₁ = – 0,585

X₂ = {– 4 – 2,83} ÷ 2

X₂ = – 6,83 ÷ 2

X₂ = – 3,415