Question

AYUDA URGENTE:
Entre los cosenos directores de un vector unitario existen las siguientes relaciones:
$\frac{ \cos( \alpha ) }{ \cos( \beta ) } = \frac{2}{3}$
$\frac{ \cos( \beta ) }{ \cos( \gamma ) } = \frac{3 }{4}$
Calcular el producto escalar y vectorial de este vector con el que tiene por componentes
$\sqrt{29}$
(1,1,1)
¿Qué ángulo forman entre sí ambos vectores?
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Answer 1

Sea el vector A cuyos cosenos directores cumplen con:

cosα / cosβ = 2/3; cosβ / cosγ = 3/4

Resulta cosα / cosβ . cosβ / cosγ = cosα / cosγ = 2/3 . 3/4 = 1/2

Además se cumple cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Por un proceso algebraico relativamente laborioso se llega a:

cosα = 2/√29; cosβ = 3/√29; cosγ = 4/√29

El vector A es 1/√29 (2, 3, 4)

El vector B es √29 (1, 1, 1)

Al desarrollar los dos productos intervienen los coeficientes numéricos se multiplican: 1/√29 . √29 = 1. Por lo tanto no participan.

Producto escalar: A . B = (2, 3, 4) . (1, 1, 1) = 2 + 3 + 4 = 9

Producto vectorial: A x B  = (2, 3, 4) x (1, 1, 1) = (- 1, 2, -1)

Supongo que sabes hallar un producto vectorial.

Ángulo entre los vectores. Necesitamos sus módulos.

|A| = √(2² + 3² + 4²) = √29

|B| = √(1² + 1² + 1² = √3

Sea Ф el ángulo entre ellos.

cosФ = A . B / (|A . |B|)

cosФ = 9 / (√29 . √3) ≅ 0,965

Nos queda Ф ≅ 15,2°

Saludos Herminio.