Question

¿cuantas fracciones propias e irreductibles cuya suma de terminos es 180 existen?
a)24
b)12
c)36
d)30
e)20

Answer 1

Respuesta:

a) 24

Explicación paso a paso:

El modelo de la de fracción irreductible es:

$\frac{A}{B} \: \: \: \:en \: \: donde: \: \: \: A < B$

*La suma de términos es 180*

$A + B = 180 \: \: \: entonces \: \: \: A = 180 -B$

*Reemplazo A*

$\frac{A}{B} = \frac{180-B}{B} = \frac{180}{B}-\frac{B}{B} = \frac{180}{B} - 1$

La descomposición de 180 es 2²×3²×5

$\frac{180}{B} - 1 = \frac{ {2}^{2} \times {3}^{2} \times 5}{B}-1$

*Entonces para que la fracción no se pueda reducir, B no tiene que ser múltiplo ni de 2 , ni de 3, ni de 5*

*por consiguiente también se cumplirá lo mismo para A*

También se observa que:

$A < B$

$A < 180 - A$

$A + A < 180$

$2A < 180$

$A < 90$

*A puede puede tomar valores de 1 hasta 90 *

Ver la imágen

Total de múltiplos de 2:

90÷2 = 45

Total de múltiplos de 3:

90÷3 = 30

Total de múltiplos de 5:

90÷5 = 18

Múltiplos de 2 y 3

90÷(2×3) = 90÷6 = 15

Multiplos de 3 y 5

90÷(3×5) = 90÷15 = 6

Múltiplos de 2 y 5

90÷(2×5) = 90÷10 = 9

Múltiplos de 2 , 3 y 5

90÷(2×3×5) = 90÷30 = 30

Entonces el total de todo es:

24+12+12+6+3+3+6 = 66

*66 es lo que no puede ser, como el número de posibilidades que se tenía en un inicio era de 90*

*Entonces el número de valores que si pueden ser es*

90-66 = 24