Question

Hallar el cociente entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del cuadrado en términos de pi. Si los cuatro vértices de un cuadrado están sobre una circunferencia de radio R.

Answer 1

Tarea:

Hallar el cociente entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del cuadrado en términos de $\pi$. Si los cuatro vértices de un cuadrado están sobre una circunferencia de radio R.

Respuesta:

El cociente es:  $\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}$

Explicación paso a paso:

Como puedes ver en imagen adjunta, se trata de un cuadrado inscrito en una circunferencia y se puede deducir lo siguiente.

Si la circunferencia tiene un radio R, dicho radio también coincide con la mitad de la diagonal de cuadrado, así que la diagonal completa medirá 2R

Existe una fórmula que nos facilita saber el lado de cualquier cuadrado sabiendo lo que mide su diagonal y dice:

Diagonal = Lado × √2  ... despejando el lado...

Lado = Diagonal / √2

Y para el caso que nos ocupa, sustituyendo...

Lado = 2R / √2  ...  racionalizando...

$Lado=\dfrac{2R}{\sqrt{2}} =\dfrac{2R*\sqrt{2} }{\sqrt{2}*\sqrt{2}} =\dfrac{2R*\sqrt{2} }{2} =R\sqrt{2}$

Ahora calculamos el perímetro multiplicando por los 4 lados del cuadrado:

Perímetro = 4R√2

Por otra parte, la longitud de la circunferencia es:

L = 2·π·R = 2Rπ

El cociente que nos pide será pues:

$\dfrac{2R\pi }{4R\sqrt{2} } =\dfrac{\pi }{2\sqrt{2} } =\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}$

Saludos.

PD: Se me olvidó adjuntar la imagen y después de publicar la tarea, edito para adjuntarla y el programa no responde. Lo siento.