Se escogen al azar dos bolitas de un total de 9 bolitas que estan enumeradas del 1 al 9, si la suma es par. Halle la probabilidad de que ambos numeros sean impares.
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Respuestas
Tarea:
Se escogen al azar dos bolitas de un total de 9 bolitas que están enumeradas del 1 al 9, si la suma es par. Halle la probabilidad de que ambos números sean impares.
Respuesta:
Probabilidad de 28%
Explicación paso a paso:
Sin ánimo de corregir a quien redactó el problema, creo que no expresa correctamente lo que quiere calcular ya que, si nos ceñimos al texto de forma literal, nos está pidiendo PROBABILIDAD de que la suma de dos números impares dé un resultado par.
Atendiendo a ello diremos que la probabilidad es TOTAL, es decir, 1.
Y ello es así porque podemos ver que sumando dos números impares, siempre el resultado será par. Lo comprobamos de forma genérica de este modo:
Digamos que tenemos los números impares representados como:
2x+1 ... y ... 2x+3
Y los represento así porque esas expresiones abarcan a cualquier valor que podamos dar a "x", sea par o sea impar, ya que al sustituir ese valor en la expresión y multiplicarlo por 2, el resultado siempre será par y si a continuación le sumo 1 unidad, es obvio que nos queda un número impar.
Con eso claro, veamos qué pasa si sumamos esos dos impares:
2x+1 + 2x+3 = 4x+4 = 2·2·(x+1)
Con eso queda demostrado que cualquier valor que demos a "x" y le sumemos una unidad, si el resultado lo multiplicamos por 2 o bien por 4 como nos sale ahí, el resultado será par, así que la suma de dos impares siempre nos da un número par, ok?
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La otra forma de expresar el ejercicio y que yo creo que es la que ha querido decir, es:
De un total de 9 bolitas numeradas del 1 al 9, ¿cuántas maneras hay de sacar dos bolitas simultáneamente para que su suma sea par?
Según lo explicado anteriormente, esas dos bolitas deben llevar un nº impar.
Si el ejercicio se hubiera escrito así, la solución pasa por recurrir a la combinatoria y en este caso concreto al modelo combinatorio llamado COMBINACIONES, donde el orden de los elementos que se toman no afecta al nº de maneras ya que, por ejemplo, si extraemos los números 3 y 7, es lo mismo que si extraemos los números 7 y 3 puesto que la propiedad conmutativa de la adición dice que el orden de los sumandos no altera el resultado, es decir:
3+7 = 7+3 = 10 ... ok?
Para saber la probabilidad hay que calcular los casos posibles y los casos favorables.
Los casos posibles son TODOS los casos que puedan darse, es decir, que saquemos dos bolas con nº impar o bien una bola con nº impar y otra con nº par, o bien dos bolas con nº par.
En este caso hemos de realizar:
COMBINACIONES DE 9 ELEMENTOS (las 9 bolitas) TOMADOS DE 2 EN 2 (las bolitas que tomamos en una extracción)
La fórmula por factoriales dice:
Estos serían los casos posibles.
Los casos favorables serían aquellos en que se cumple que la suma de las dos bolitas nos dé un nº par y ya hemos razonado que por fuerza ha de ocurrir siempre que saquemos dos bolitas con nº impar, por tanto hemos de reducir el nº de bolitas a solo las que llevan los impares que son:
1, 3, 5, 7, 9 = 5 bolitas de las que hay que extraer solo dos.
Aquí la fórmula es la misma pero no los datos ya que tenemos:
COMBINACIONES DE 5 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2
Se aplica esa fórmula y tenemos:
Y aquí hemos calculado los casos favorables.
Solo nos queda acudir a la fórmula general de probabilidades que dice:
P = Favorables / Posibles = 10 / 36 = 0,28 = 28%
Saludos.