La siguiente grafica representa la relación entre el área de una imagen proyectada en la pared y la distancia del proyector.cual es la relación algebraica de la gráfica? a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? ____________________________________________________b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2? ______________________________________c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? _________________________d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? _________________________________________________
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
El problema es buscar la expresión matemática de la curva. La curva al ser una función exponencial, tiene la siguiente expresión:
y = a*e^(bx)
El problema se centra en buscar a y b. Para ello, necesitamos dos puntos de la gráfica.
P1(7,2) y P2(5, 1)
Dichos puntos los obtuve de la gráfica anexada a la pregunta. Recuerda que un punto se expresa como P(x,y) donde x son los valores del eje de la Distancia (m) y y son los valores del eje del Área (m^2)
Sustituimos P1 en la ecuación:
2 = a*e^(7b)
a = 2 / e^(7b) (1)
Sustituimos P2
1 = a*e^(5b)
a = 1 / e^(5b) (2)
igualamos (1) y (2)
1 / e^(5b) = 2 / e^(7b)
e^(7b) = 2e^(5b) (los divisores pasan multiplicando hacia el otro lado de la ecuac)
ln [e^(7b)] = ln [2e^(5b)]
7b = ln(2) + ln(e^5b) ; Recorda que ln(e)^x = x ln(e) = x*1 = x
7b = 0,69 + 5b
7b - 5b = 0,69 (Agrupación de términos semejantes)
2b = 0,69 (Suma algebraica de términos semejantes)
b = 0,69 / 2
b = 0,35
Sustituimos el valor de b en la ecuación (2)
a = 1 / e^(5*0,35) (se multiplica el exponente de Euler)
a = 1 / e^(1,73)
a = 1 / 5,64
a = 0,18
La ecuación queda como:
y = (0,18) e^(0,35x)
Con la ecuación puedes responder las preguntas sustituyendo en x la distancia que te se_alan y calculando el área correspondiente en y
Respuesta:
a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m?
R= el área es igual a 1 m²
¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m²?
R= a una distancia de 10 m
¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto?
R=
¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m?
R= el área es igual a 1.12 m²
