Question

encuentre el punto A(-x,$\frac{x}{3}$) tal que la distancia que hay del punto B al C es el doble de la distancia que hay del punto A al punto B, siendo B (2,1) y C (0,-3).

Answer 1

Respuesta:

A (0,0)

Explicación paso a paso:

La distancia entre dos puntos P (x1, y1) y Q (x2, y2) en el plano cartesiano viene dada por la fórmula:

$d=\sqrt{(x2-x1)^{2} + (y2-y1)^{2}$

Siendo B (2,1) y C (0,-3) la distancia entre ellos es:

$d_{BC} =\sqrt{(0-2)^{2} + (-3-1)^{2}}=\sqrt{4+16} =\sqrt{20}$

Como "la distancia que hay del punto B al C es el doble de la distancia que hay del punto A al punto B", quiere decir que la distancia de A a B es la mitad:

$d_{AB} =\frac{d_{BC}}{2} =\frac{\sqrt{20}}{2}$

Siendo  A (-x, x/3) y B (2, 1), aplicando la fórmula de arriba:

$d_{AB} =\sqrt{(2-(-x))^{2} + (1-\frac{x}{3})^{2}}=\sqrt{(2+x)^{2} + (1-\frac{x}{3})^{2}}$

Observando el radicando, tenemos dos igualdades notables, una suma al cuadrado y una diferencia al cuadrado, que desarrollamos:

$d_{AB} =\sqrt{4+x^{2}+4x+1+\frac{x^{2}}{9} -\frac{2x}{3}}$

Igualamos los dos resultados obtenidos para la distancia entre A y B:

$\sqrt{4+x^{2}+4x+1+\frac{x^{2}}{9} -\frac{2x}{3}} =\frac{\sqrt{20} }{2} \\4+x^{2}+4x+1+\frac{x^{2}}{9} -\frac{2x}{3} =\frac{{20}}{4} \\\\5+x^{2}+4x+\frac{x^{2}}{9} -\frac{2x}{3} =\frac{{20}}{4}$

$\\\frac{180+36x^{2}+144x+4x^{2} }{36} =\frac{180}{36} \\\\180+36x^{2}+144x+4x^{2} =180\\40x^{2}+144x =180-180\\40x^{2}+144x =0\\x(40x+144)=0$

De ahí que:

x=0   o bien que

40x+144=0;  x=-144/40 = -18/5

Con el valor de x=0 resulta que A es (0, 0) y se comprueba ya que

$\sqrt{4+0^{2}+4*0+1+\frac{0^{2}}{9} -\frac{20}{3}} =\frac{\sqrt{20} }{2} \\4+1=\frac{{20}}{4} \\\\5=5$

Con el otro valor de x no se verifica.