Proyecto integrador. El movimiento de una partícula
1. Lee y analiza el siguiente planteamiento:
¿Sabías que la velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Se estudia, en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por:
f''(x)=3 x ^2-10x+14
Los investigadores, están interesados en determinar:
a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de dicha partícula es de 0?
b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t= 0 toma un valor de 2?
c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?
d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.
e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [2,4] y [5,6]?
2. Cuando hayas finalizado, analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:
a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?
b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.
Respuestas
De acuerdo al problema de la velocidad de una particula en estudio, con una aceleracion de
f''(x) = 3x² - 10x + 14, se tiene que:
Explicación:
- a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de dicha partícula es de 0?
La velocidad e la integral de la aceleracion, integramos:
v(x) = ∫(3x² - 10x + 14)dx
v(x) = x³ - 5x² + 14x + C Velocidad en t=0 es 0m/s
0 = 0³ - 5*0² + 14*0 + C
C = 0
v(x) = x³ - 5x² + 14x
- b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t= 0 toma un valor de 2?
La posicion es la integral de la velocidad, integramos:
s(x) = ∫(x³ - 5x² + 14x)dx
s(x) = x⁴/4- 5x³/3 + 7x² + C Posicion en t=0 es 2m
2 = 0³ - 5*0² + 14*0 + C
C = 2
s(x) = x⁴/4- 5x³/3 + 7x² + 2
- c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?
St = s(6) - s(3)
s(6) = 6⁴/4- 5*6³/3 + 7*6² + 2 = 218
s(3) = 3⁴/4- 5*3³/3 + 7*3² + 2 = 40.25
St = 177.75m
- d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.
Derivamos, igualamos a cero y buscamos las raices
s'(x) = x³ - 5x² + 14x = 0
- x₁ = 2.5 + 2.78i
- x₂ = 2.5 - 2.78i
- x₃ = 0
Derivamos y evaluamos unica raiz real
s''(x) = 3x² - 10x + 14
s''(0) = 3*0² - 10*0+ 14 = 14
NO existen valores maximos, solo valor minimo en x = 0
- e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [2,4] y [5,6]?
Δy/Δx = f(x₂)-f(x₁)/x₂-x₁
[2,4]
- f(x₂) = 4⁴/4- 5*4³/3 + 7*4² + 2 = 71.33
- f(x₁) = 2⁴/4- 5*2³/3 + 7*2² + 2 = 20.67
Δy/Δx = 71.33-20.67/4-2
Δy/Δx =25.33
[5,6]
- f(x₂) = 6⁴/4- 5*6³/3 + 7*6² + 2 = 218
- f(x₁) = 5⁴/4- 5*5³/3 + 7*5² + 2 = 124.92
Δy/Δx = 218-124.92/6-5
Δy/Δx =93.08
- a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?
El calculo de la razon de cambio promedio anterios nos imdica que la particula se encuantra en un movimiento uniformente acelerado MUA, ya que en intervalo de tiempo mas corto la particula en [5,6] recorre una mayor distancia que en [2,4]
- b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.
Si imaginamos que en vez de referirnos a la velocidad de una partucla en general, estuvieramos calculando ingresos, entonces la utilidad que tendria la razon de cambio promedio en el contexto de un negcio familiar, fue de caracter positivo, ya que a medida que pasa el tiempo la razon de cambio de ingresos cambia constantemente de manera ascendente, esto influye en mayores ganacias a travez del tiempo