Question

Porfa alguien que me ayude
Proyecto integrador. El movimiento de una partícula
1. Lee y analiza el siguiente planteamiento:

¿Sabías que la velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Se estudia, en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por:

f''(x)=3 x ^2-10x+14

Los investigadores, están interesados en determinar:

a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de dicha partícula es de 0?

b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t= 0 toma un valor de 2?

c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.

e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [2,4] y [5,6]?

2. Cuando hayas finalizado, analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:

a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?

b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.

Answer 1

Velocidad es la integral de aceleración y posición es la integral de velocidad. Aplicaremos estos conceptos a continuación:

Explicación paso a paso:

a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de dicha partícula es de 0?

La función velocidad se obtiene a partir de la integral de la función aceleración:

$V_{(t)}~=~\int\ {a_{(t)}} \, dt~=~\int\ {(3t^{2}-10t+14)} \, dt~=~t^3-5t^{2}+14t+C}$

Evaluamos en t = 0 y V = 0 para conocer la constante de integración C

$V_{(0)}~=~(0)^3-5(0)^{2}+14(0)+C~=~0\qquad\Rightarrow\qquad C~=~0\qquad\Rightarrow}$

$\bold{V_{(t)}~=~t^3-5t^{2}+14t}$

b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t= 0 toma un valor de 2?

La función de posición se obtiene a partir de la integral de la función velocidad:

$X_{(t)}~=~\int\ {V_{(t)}} \, dt~=~\int\ {(t^3-5t^{2}+14t)} \, dt~=~\frac{t^{4}}{4}-\frac{5t^{3}}{3}+7t^{2}+C}$

Evaluamos en t = 0 y X = 2 para conocer la constante de integración C

$X_{(0)}~=~\frac{(0)^{4}}{4}-\frac{5(0)^{3}}{3}+7(0)^{2}+C~=~2\qquad\Rightarrow\qquad C~=~2\qquad\Rightarrow}$

$bold{X_{(t)}~=~\frac{t^{4}}{4}-\frac{5t^{3}}{3}+7t^{2}+2}$

c) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]?

Evaluamos la función posición en los extremos del intervalo y restamos los resultados:

$X_{(6)}~=~\frac{(6)^{4}}{4}-\frac{5(6)^{3}}{3}+7(6)^{2}+2~=~218}$

$X_{(3)}~=~\frac{(3)^{4}}{4}-\frac{5(3)^{3}}{3}+7(3)^{2}+2~=~\frac{161}{4}}$

$\bold{Recorrido~en~[3,6]~=~218~-~\frac{161}{4}~=~\frac{711}{4}~=~177,75~km}}$

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.

Los posibles máximos y mínimos de la función posición son los valores de t que anulan la función velocidad:

$V_{(t)}~=~0\quad\Rightarrow\quad t^3-5t^{2}+14t=0\quad\Rightarrow\quad t(t^2-5t+14)=0\quad\Rightarrow\quad t=0}$

El punto crítico de la función X es t = 0, lo cual implica que existe un mínimo cuando t = 0 y ese mínimo vale X = 2. No hay puntos máximos.

e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [2,4] y [5,6]?

Se evalua la función velocidad(razón de cambio de la función posición) en los extremos de cada intervalo y se promedian los resultados (se suman y se divide entre 2)

$V_{(4)}~=~(4)^3-5(4)^{2}+14(4)~=~40}$

$V_{(2)}~=~(2)^3-5(2)^{2}+14(2)~=~16$

$\bold{Velocidad~promedio~en~[2,4]~=~\frac{40+16}{2}~=~28~km/s}}$

$V_{(6)}~=~(6)^3-5(6)^{2}+14(6)~=~120}$

$V_{(5)}~=~(5)^3-5(5)^{2}+14(5)~=~70$

$\bold{Velocidad~promedio~en~[5,6]~=~\frac{120+70}{2}~=~95~km/s}}$

2. Cuando hayas finalizado, analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:

a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?

Nos indica cual es la tasa de cambio promedio de la función posición en relación con los valores de la variable independiente t. A mayores valores de t, mayor será la tasa promedio.

b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.

En este caso nos diría cual es la variación promedio de los ingresos del negocio en el tiempo y como varían estos ingresos en relación con los valores del intervalo de tiempo que se defina.